Количество теплоты и удельная теплоёмкость. Решение задач

Формулу легко переписать, но хорошее физическое решение должно выдержать проверку. На этом уроке мы научимся не только получать число, но и объяснять, почему выбрана именно эта формула, что означает ответ и правдоподобен ли он.

Мы рассматриваем нагревание и охлаждение тела без плавления, кипения и других фазовых переходов. Смешивание жидкостей и уравнение теплового баланса относятся к следующим темам.

Разобранная оценка масштаба

Постановочный кадр помогает оценить масштаб задачи. Бутылку не нагревают и не используют как измерительный прибор.

В закрытой бутылке примерно $0{,}50\ \text{кг}$ воды. Какой порядок количества теплоты потребуется, чтобы температура воды изменилась на $10\ ^\circ\text{C}$: десятки джоулей, десятки килоджоулей или тысячи килоджоулей? Сначала запиши оценку, затем сверь её с разобранным вычислением ниже.

Для воды $c=4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot ^\circ\text{C})$, поэтому

$$|Q|=cm|\Delta t|=4200\cdot0{,}50\cdot10=21000\ \text{Дж}=21\ \text{кДж}.$$

Оценка «десятки килоджоулей» верна. Такая предварительная прикидка помогает заметить потерянный множитель $1000$.

Маршрут решения

Используй одну и ту же последовательность:

1. Дано и вопрос. Выпиши величины и назови неизвестную.
2. СИ. Переведи граммы в килограммы, а килоджоули — в джоули.
3. Формула. Запиши связь в общем виде и вырази неизвестную.
4. Число. Подставь значения вместе с единицами.
5. Смысл. Проверь единицу, порядок величины и направление передачи энергии.

Основная связь для модуля количества теплоты:

$$|Q|=cm|\Delta t|, \qquad |\Delta t|=|t_2-t_1|.$$

Из неё получаем:

$$m=\frac{|Q|}{c|\Delta t|}, \qquad c=\frac{|Q|}{m|\Delta t|}, \qquad |\Delta t|=\frac{|Q|}{cm}.$$

Здесь $c$ — удельная теплоёмкость вещества, $m$ — масса тела, а $|\Delta t|$ — модуль изменения температуры. Если тело нагревается, оно получает энергию; если охлаждается — отдаёт. В задачах на «сколько теплоты отдало тело» обычно находят положительный модуль $|Q|$, а направление называют словами.

Полный пример: охлаждение детали

Это постановочная иллюстрация условия. Шкала на изображении не является источником числовых данных; все данные приведены в тексте.

Алюминиевая деталь массой $600\ \text{г}$ охлаждается от $85\ ^\circ\text{C}$ до $25\ ^\circ\text{C}$. Удельная теплоёмкость алюминия $c=900\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot ^\circ\text{C})$. Какое количество теплоты деталь отдаёт?

1. Дано и вопрос: $m=600\ \text{г}$, $t_1=85\ ^\circ\text{C}$, $t_2=25\ ^\circ\text{C}$, найти $|Q|$.

2. СИ:

$$600\ \text{г}=0{,}600\ \text{кг}.$$

3. Формула:

$$|\Delta t|=|25-85|=60\ ^\circ\text{C}, \qquad |Q|=cm|\Delta t|.$$

4. Вычисление:

$$|Q|=900\cdot0{,}600\cdot60=32400\ \text{Дж}=32{,}4\ \text{кДж}.$$

5. Проверка: единицы сокращаются до джоуля,

$$\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot ^\circ\text{C}}\cdot\text{кг}\cdot ^\circ\text{C}=\text{Дж}.$$

Обратная подстановка даёт $32400/(900\cdot0{,}600)=60\ ^\circ\text{C}$. Деталь охлаждалась, значит она отдала $32{,}4\ \text{кДж}$ энергии.

Как сравнивать без длинных вычислений

Учебная модель сравнения: массы и переданное количество теплоты считаются одинаковыми.

Пусть одинаковые массы воды, алюминия и меди получили одинаковое количество теплоты. Из формулы

$$|\Delta t|=\frac{|Q|}{cm}$$

видно: при одинаковых $Q$ и $m$ сильнее изменится температура вещества с меньшей удельной теплоёмкостью. Для школьных округлённых значений

Следовательно, порядок убывания $|\Delta t|$: медь → алюминий → вода. Это вывод из зависимости, а не свойство изображения.

Данные на графике

Постановочный фон для работы с графиком; координаты задачи заданы ниже текстом.

Для тела массой $0{,}50\ \text{кг}$ точка линейного участка графика $t(Q)$ имеет координаты: $Q=18\ \text{кДж}$, температура изменилась от $20\ ^\circ\text{C}$ до $60\ ^\circ\text{C}$. Определим вещество:

$$|\Delta t|=60-20=40\ ^\circ\text{C}, \qquad Q=18000\ \text{Дж},$$ $$c=\frac{|Q|}{m|\Delta t|}=\frac{18000}{0{,}50\cdot40}=900\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot ^\circ\text{C}).$$

Полученное значение близко к алюминию по школьной таблице. Поскольку $t=t_0+Q/(cm)$, увеличение массы при том же веществе уменьшает наклон графика $t(Q)$.

Частые ошибки

Самостоятельная практика

A. Найди количество теплоты. Медная заготовка массой $0{,}40\ \text{кг}$ нагрелась от $20\ ^\circ\text{C}$ до $70\ ^\circ\text{C}$. Для меди $c=400\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot ^\circ\text{C})$.

1. Найди $|\Delta t|$.
2. Вычисли полученное количество теплоты в джоулях и килоджоулях.
3. Проверь единицу.
4. Объясни направление передачи энергии.

B. Вырази массу. Вода получила $84\ \text{кДж}$ и нагрелась на $20\ ^\circ\text{C}$. Для воды $c=4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot ^\circ\text{C})$. Найди массу воды и выполни обратную проверку.

C. Используй данные новой точки графика. С графика считано: тело массой $0{,}25\ \text{кг}$ получило $10\ \text{кДж}$, а его температура изменилась от $15\ ^\circ\text{C}$ до $55\ ^\circ\text{C}$. Найди $c$ и предположи вещество по школьной таблице.

Проверь себя

1. Почему перед подстановкой $300\ \text{г}$ нужно записать как $0{,}300\ \text{кг}$?
2. Чем конечная температура отличается от изменения температуры?
3. Как выразить массу из формулы $|Q|=cm|\Delta t|$?
4. Как изменится $|Q|$, если при неизменных $c$ и $|\Delta t|$ массу увеличить вдвое?
5. Как по смыслу проверить ответ для охлаждающегося тела?
6. У какого из двух одинаковых по массе тел температура изменится сильнее при одинаковом $Q$: с большим или меньшим $c$?

Сначала запиши все ответы и только затем переходи к разбору.

Ответы

1. Формула записана в единицах СИ; в ней массу подставляют в килограммах.
2. Конечная температура — одно состояние $t_2$, а изменение — разность $|t_2-t_1|$.
3. $m=|Q|/(c|\Delta t|)$.
4. Количество теплоты увеличится вдвое.
5. Температура уменьшается, следовательно, тело отдаёт энергию; найденный положительный результат — модуль отданного количества теплоты.
6. У тела с меньшим $c$, потому что $|\Delta t|=|Q|/(cm)$.

Самостоятельная практика:

A.

$$|\Delta t|=70-20=50\ ^\circ\text{C},$$ $$|Q|=400\cdot0{,}40\cdot50=8000\ \text{Дж}=8{,}0\ \text{кДж}.$$

Единица результата — джоуль. Заготовка нагрелась, значит она получила энергию.

B. Сначала $84\ \text{кДж}=84000\ \text{Дж}$, затем

$$m=\frac{84000}{4200\cdot20}=1{,}0\ \text{кг}.$$

Обратная проверка: $4200\cdot1{,}0\cdot20=84000\ \text{Дж}$.

C. Здесь $|\Delta t|=40\ ^\circ\text{C}$ и $Q=10000\ \text{Дж}$, поэтому

$$c=\frac{10000}{0{,}25\cdot40}=1000\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot ^\circ\text{C}).$$

Значение ближе всего к алюминию, но отличается от школьного табличного $900\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot ^\circ\text{C})$. Такое определение по графику является приближённым.

Короткий итог

• Решение защищает маршрут: дано → СИ → формула → число → смысл.
• Для нагревания и охлаждения без фазового перехода используют $|Q|=cm|\Delta t|$.
• Неизвестную выражают до подстановки чисел.
• Ответ проверяют по единице, порядку величины, обратной подстановке и направлению передачи энергии.
• Смешивание, тепловой баланс и фазовые переходы в этот урок не входят.