Удельная теплота плавления (кристаллизации)

На прошлом уроке мы установили: во время плавления чистого кристаллического вещества температура остаётся постоянной, хотя энергия продолжает передаваться веществу. Теперь зададим количественный вопрос: сколько энергии требуется для плавления?

Масса образца меняется. Нужно найти величину, которая характеризует само вещество.

Начинаем с прогноза

Два образца одного вещества уже находятся при температуре плавления. Масса второго образца вдвое больше массы первого. Оба образца плавят полностью в одинаковых условиях.

Выбери прогноз:

1. для второго образца потребуется столько же энергии;
2. для второго образца потребуется вдвое больше энергии;
3. по массе ничего сказать нельзя.

Запиши объяснение до чтения следующего раздела. Важно отделить массу конкретного образца от свойства вещества.

Исследование по модельным данным

Рассмотрим два образца льда при $0\ ^\circ\mathrm{C}$. Каждый получает энергию от нагревателя постоянной мощности $P=100\ \mathrm{Вт}$. Плавление заканчивается, когда твёрдая фаза исчезает. В учебной модели теплопотери не учитываем.

При постоянной мощности переданная энергия равна:

$$Q=P\tau.$$

Сначала вычисли $Q$ для каждого образца, а затем найди отношение $Q/m$. Не открывай результат заранее.

---

Промежуточный ключ исследования

Для образца A:

$$Q_A=100\cdot340=34\,000\ \mathrm{Дж},$$ $$\frac{Q_A}{m_A}=\frac{34\,000}{0{,}10}=340\,000\ \mathrm{Дж/кг}.$$

Для образца B:

$$Q_B=100\cdot680=68\,000\ \mathrm{Дж},$$ $$\frac{Q_B}{m_B}=\frac{68\,000}{0{,}20}=340\,000\ \mathrm{Дж/кг}.$$

Масса и энергия увеличились в два раза, а отношение $Q/m$ осталось одинаковым. Именно это отношение характеризует вещество в данной модели фазового перехода.

Новая физическая величина

Удельная теплота плавления — физическая величина, численно равная количеству теплоты, необходимому для плавления $1\ \mathrm{кг}$ вещества при температуре плавления.

Её обозначают греческой буквой $\lambda$ (лямбда):

$$\lambda=\frac{Q}{m}.$$

Единица удельной теплоты плавления:

$$[\lambda]=\frac{\mathrm{Дж}}{\mathrm{кг}}.$$

Изображение передаёт идею «энергия на один килограмм». Это учебная метафора, а не схема реальной установки.

Важно: $\lambda$ — свойство вещества, а не отдельного куска. Масса конкретного образца учитывается отдельно.

Паспорт формулы

Из определения получаем основную связь:

$$Q=\lambda m.$$

Проверим размерность:

$$\frac{\mathrm{Дж}}{\mathrm{кг}}\cdot\mathrm{кг}=\mathrm{Дж}.$$

Формула описывает чистый этап фазового перехода при температуре плавления. Если лёд сначала имеет температуру $-10\ ^\circ\mathrm{C}$, одной формулы $Q=\lambda m$ недостаточно: сначала нужен отдельный этап нагревания до $0\ ^\circ\mathrm{C}$.

Плавление и кристаллизация

При плавлении энергия передаётся к веществу. При кристаллизации такое же по модулю количество энергии передаётся от вещества окружающим телам:

$$Q=\lambda m.$$

В школьных задачах этой формулой обычно вычисляют модуль количества переданной энергии. Знак $\lambda$ не меняют: направление обязательно называют словами.

Разбор прямой задачи

Какое количество энергии нужно для плавления $200\ \mathrm{г}$ льда при $0\ ^\circ\mathrm{C}$? Примем $\lambda_\text{льда}=3{,}4\cdot10^5\ \mathrm{Дж/кг}$.

Сначала переводим массу:

$$200\ \mathrm{г}=0{,}200\ \mathrm{кг}.$$

Подставляем в формулу:

$$Q=\lambda m=3{,}4\cdot10^5\cdot0{,}200=6{,}8\cdot10^4\ \mathrm{Дж}.$$ $$Q=68\ \mathrm{кДж}.$$

Ответ: для плавления нужно передать льду $68\ \mathrm{кДж}$ энергии. Температура во время чистого фазового перехода остаётся $0\ ^\circ\mathrm{C}$.

Разбор обратной задачи

На плавление вещества при температуре плавления передали $45\ \mathrm{кДж}$. Его удельная теплота плавления равна $9{,}0\cdot10^4\ \mathrm{Дж/кг}$. Найдём массу.

Выражаем массу до подстановки чисел:

$$m=\frac{Q}{\lambda}.$$

Переводим энергию и вычисляем:

$$45\ \mathrm{кДж}=45\,000\ \mathrm{Дж},$$ $$m=\frac{45\,000}{90\,000}=0{,}50\ \mathrm{кг}.$$

Единица результата — килограмм, значит преобразование формулы согласовано с физическим смыслом.

Сравниваем вещества

Используем округлённые школьные значения:

Для одинаковых масс большее значение $\lambda$ означает большее по модулю количество энергии фазового перехода. Но это не рейтинг «качества», цены или безопасности вещества — только энергетическая характеристика перехода.

Как плато связано с энергией

Если нагреватель имеет постоянную мощность, то энергия, переданная за время плато, равна $Q=P\tau_\text{плато}$. Одновременно для полного плавления $Q=\lambda m$. Поэтому в идеальной модели:

$$P\tau_\text{плато}=\lambda m.$$

При одинаковых $P$ и $\lambda$ более массивный образец имеет более длинное плато. Реальный опыт отличается: часть энергии получает сосуд, часть уходит в окружающую среду.

Где используется фазовый переход

Хладоэлементы при плавлении поглощают энергию и помогают дольше сохранять нужную температуру содержимого. Реальные наполнители могут быть смесями с заданным интервалом перехода, поэтому школьная модель чистого вещества применяется с оговоркой.

При литье расплавленный металл кристаллизуется и передаёт энергию форме и окружающей среде. Такой процесс наблюдают только на производстве с защитным оборудованием; повторять его в учебном кабинете нельзя.

Частые ошибки

Самостоятельная практика

A. Количество теплоты. Рассчитайте $Q$ для плавления $0{,}30\ \mathrm{кг}$ вещества при температуре плавления. $\lambda=2{,}0\cdot10^5\ \mathrm{Дж/кг}$. Назовите направление энергии.

B. Масса. При кристаллизации выделилось $24\ \mathrm{кДж}$. $\lambda=8{,}0\cdot10^4\ \mathrm{Дж/кг}$. Найдите массу и назовите направление энергии.

C. Свойство вещества. На плавление $0{,}25\ \mathrm{кг}$ вещества потребовалось $75\ \mathrm{кДж}$. Найдите $\lambda$.

D. Граница формулы. Объясните, почему для превращения льда при $-10\ ^\circ\mathrm{C}$ в воду при $0\ ^\circ\mathrm{C}$ недостаточно одной формулы $Q=\lambda m$.

Сначала решите самостоятельно. Затем сравните не только ответы, но и переводы единиц.

---

Ответы

A.

$$Q=2{,}0\cdot10^5\cdot0{,}30=6{,}0\cdot10^4\ \mathrm{Дж}=60\ \mathrm{кДж}.$$

Энергия передаётся к веществу.

B.

$$m=\frac{24\,000}{8{,}0\cdot10^4}=0{,}30\ \mathrm{кг}.$$

При кристаллизации энергия передаётся от вещества.

C.

$$\lambda=\frac{75\,000}{0{,}25}=3{,}0\cdot10^5\ \mathrm{Дж/кг}.$$

D. Сначала лёд нужно нагреть от $-10\ ^\circ\mathrm{C}$ до $0\ ^\circ\mathrm{C}$, и только затем плавить. Это два разных энергетических этапа.

Проверь себя

1. Что физически означает запись $\lambda=3{,}4\cdot10^5\ \mathrm{Дж/кг}$?
2. Почему $\lambda$ нельзя называть энергией конкретного образца?
3. Какого порядка результат в джоулях получится для плавления $0{,}10\ \mathrm{кг}$ льда?
4. Какие три формы одной связи нужно уметь получать?
5. Почему при кристаллизации не делают $\lambda$ отрицательной?
6. При каком условии формула $Q=\lambda m$ описывает чистый этап перехода?

Короткий итог

• Удельная теплота плавления показывает энергию фазового перехода, приходящуюся на $1\ \mathrm{кг}$ вещества.
• Основная связь: $Q=\lambda m$; обратные формы: $m=Q/\lambda$ и $\lambda=Q/m$.
• Массу переводят в килограммы, энергию — в джоули, если $\lambda$ дана в Дж/кг.
• При плавлении энергия передаётся к веществу, при кристаллизации — от вещества.
• Формула $Q=\lambda m$ не включает предварительное нагревание или последующее охлаждение.