Алгебра: Квадратные корни и действительные числа — практикум (10/31)

Как отличить значение корня от решений уравнения, не потерять знак и доказать, что бордюра хватит? В этом уроке сначала пробуем сами, затем разбираем способы и переносим их на новое условие. Нужны тетрадь и ручка. Все задания решаются без картинок и калькулятора.

1. Сначала своя попытка

Найди √81. Реши x² = 81. Вычисли √((-9)²). Запиши три ответа и объясни, почему они могут различаться. Первую запись сохрани до разбора.

Три квадратные модели из единичных плиток помогают связать площадь со стороной. Числа и размеры для задач задаются текстом; изображение не измеряют.

Арифметический квадратный корень √a при a ≥ 0 - неотрицательное число, квадрат которого равен a. Поэтому √81 = 9. Уравнение x² = 81 имеет два решения: -9 и 9. Отрицательное число тоже даёт положительный квадрат, но не является значением √81.

При a = 0 корень равен 0; при a < 0 выражение √a не определено в действительных числах. Не путай √(-9) и √((-9)²): во второй записи под корнем 81, поэтому ответ 9. Для любого действительного x верно √(x²) = |x|. Например, при x = -4 получаем 4, а не -4.

Новая проба: найди √36 и все решения x² = 36. После своей записи проверь: 6; -6 и 6. Если перепутал знак, используй опору H1/H2 в материалах и вернись к первой задаче.

2. Точный ответ и десятичная оценка

Квадрат с диагональю напоминает о геометрическом происхождении иррациональных длин. Для решения ниже достаточно числовых условий; теорема Пифагора здесь не требуется.

√2 - точное число. Оно иррационально: его нельзя представить дробью m/n с целыми m,n и n ≠ 0. Десятичные 1,4 и 1,41 - только приближения. Даже длинная строка цифр на калькуляторе конечна; она не доказывает рациональность числа.

Чтобы оценить √30, найдём соседние квадраты: 25 < 30 < 36. На неотрицательных числах возведение в квадрат сохраняет порядок, поэтому 5 < √30 < 6. Значение корня находится между целыми, но не обязано быть их серединой.

Условная модель двух границ и промежуточного маркера. Точные границы корня доказываются квадратами, а не положением маркера на картинке.

Попробуй сравнить √45 и 6,7, затем найти границы с шагом 0,1. Сначала запиши вычисления. Разбор: 6,7² = 44,89 < 45 < 46,24 = 6,8²; значит 6,7 < √45 < 6,8. Здесь знак < доказывает границы, а ≈ используется для округлённого значения. Запись √45 = 6,7 была бы неверна.

3. Преобразования: какое правило работает?

Для a,b ≥ 0 корень из произведения можно представить произведением корней: √(ab) = √a·√b. Например, √72 = √(36·2) = 6√2. При любых действительных x: √(9x²) = 3|x|, потому что результат должен быть неотрицателен.

Самостоятельно упрости √72 - 2√8 + √18. Затем сравни ход: 6√2 - 4√2 + 3√2 = 5√2. Вычитаются и складываются коэффициенты при одном и том же √2. Новый пример без опоры: √20 + √45; после своей попытки проверь 2√5 + 3√5 = 5√5.

Найди первый неверный шаг: «√(9 + 16) = √9 + √16 = 7». Левая часть равна √25 = 5, правая 3 + 4 = 7. Свойство для произведения не переносится на сумму. Один контрпример уже опровергает утверждение «так можно всегда».

4. Какие числа действительные?

Вложенные контейнеры - образ включения множеств. Точные обозначения, принадлежность и иррациональная часть задаются в тексте, а не цветом жетонов.

Натуральные N = {1,2,3,...} входят в целые Z; целые входят в рациональные Q, а Q входит в действительные R: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Здесь 0 не включаем в N. Рациональное число записывается как m/n с целыми m,n и n ≠ 0. Конечные и периодические десятичные дроби рациональны: 0,6 = 3/5; 0,(3) = 1/3.

Иррациональные числа I - действительные, которые не рациональны: Q и I не пересекаются, вместе они образуют R. √7 принадлежит I и R. √25 = 5 принадлежит сразу N,Z,Q,R. Знак √ сам по себе не определяет множество: сначала вычисли или исследуй значение.

Проверь себя: куда относятся -4, 0 и √0,36? Ответ после своей записи: -4 и 0 принадлежат Z,Q,R; √0,36 = 0,6 принадлежит Q,R. Доказать иррациональность произвольного числа по нескольким показанным цифрам нельзя.

5. Хватит ли 28 метров бордюра?

Учебная визуализация квадратного участка и измерительного инструмента. Данные задачи - 50 м² и 28 м - заданы только в тексте; это не фотография реального измерения.

Квадратный участок имеет площадь 50 м². Нужно окружить его бордюром без ворот и промежутков; есть 28 м. Найди точную сторону, точный периметр и докажи, хватит ли материала. Все данные находятся в условии; картинка не источник размеров.

Сначала своё решение. Затем разбор: s = √50 = 5√2 м; P = 4s = 20√2 м. Поскольку 50 > 49, сторона больше 7 м, а периметр больше 28 м: бордюра не хватит. Для уточнения 7² < 50 < 7,1², значит 28 < P < 28,4 м. Округление не требуется, чтобы принять решение. Площадь измеряется в м², длина и периметр - в метрах.

Для быстрого темпа: может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональной? Построй пример с суммой 5 и обоснуй, почему каждое слагаемое иррационально. Подсказка после попытки: возьми √2 и его дополнение до 5. Полный разбор есть в руководстве учителя, но сначала нужен свой аргумент.

Материалы, итог и следующий шаг

Отдельные карточки дают W (своя попытка), P (практика), R (ошибки), H (помощь), T (перенос/быстрый темп/дом), E (индивидуальный итог), бумажную самопроверку и руководство с ответами. Основной маршрут рассчитан на 45 минут; резерв и все восемь вопросов самопроверки не добавляются сверху.

Перед ключами выполни новый итог: √144 и решения x² = 144; √(a²) при a = -5; сравнение √19 с 4,4 через квадраты. Запиши основание каждого ответа, сдай выходной билет. Если путаешь ± - H1; теряешь знак - H2; сравниваешь по виду - H3. После помощи реши новый пример без опоры.

Дома за 5 минут: квадрат площадью 80 см². Найди точную сторону, упрости корень, докажи 8,9 < √80 < 9. Можно ли назвать 8,9 см точным значением? Условие есть в T3, приборы и помощь родителей не нужны.

Пройти самопроверку: 8 вопросов, объяснение каждого варианта и новый пример после ответа. Бумажный вариант проверяется с учителем после первой попытки. Весь ученический PDF · Полный комплект для работы без интернета.

Иллюстрации созданы ИИ для объяснения; они не являются результатами реальных измерений и не заменяют точных условий. Основа программы: математика РБ V-IX, постановление №132, 2025, VIII класс, тема1. Приём доказательной оценки адаптирован по NRICH/Cambridge. Задания оригинальные; в классе комплект не апробирован.

Материалы для самостоятельной работы

Откройте отдельные печатные модули и руководство в разделе «Материалы урока».

Самопроверка с объяснениями — учебная тренировка, не защищённая контрольная.