Вероятность и статистика: Операции над событиями — решение задач (3/5)

Третий урок блока: после знакомства с операциями и практикума решаем задачи, выбираем модель и проверяем допущения. Уже нужны пространство исходов, пересечение, объединение и противоположное событие. Если обозначения забылись, начни с опоры H после своей попытки.

1. Не выбирай формулу раньше события

Одинаковые карточки 1-12 перемешаны; одну выбирают вслепую с одинаковыми вероятностями. A - кратно 2, B - кратно 3. Сначала сам выпиши A∩B и A∪B. В математическом «или» допускается выполнение обоих условий.

Исходы объединения считаем по одному разу; карточки 6 и 12 удовлетворяют обоим условиям.

Сделай сам: Закрой нижнюю строку: выпиши номера объединения и ровно одного события.

Для объединения получаем 8/12=2/3. Формула P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) вычитает общую область один раз. Для «ни одно» используем дополнение объединения:1-2/3=1/3. Для «ровно одно» общая область вообще не подходит: (6-2+4-2)/12=1/2.

2. Одни данные - две проверки

В группе 30 человек,18 посещают языки,14 робототехнику,8 оба клуба. Выбор человека из полного списка равновероятен. Заполни четыре области до просмотра решения; начинай с 8 в пересечении. Учебные данные не описывают ваш класс.

Круг A содержит 10+8=18, круг B - 8+6=14. Площади кругов условны; точные значения заданы числами.

Сделай сам: Найди вероятность ровно одного клуба при равновероятном выборе человека из 30.

Таблица и диаграмма представляют одну совокупность; итоги строк и столбцов включают пересечение.

Сделай сам: Без диаграммы восстанови число людей в объединении двумя способами.

Объединение содержит 24 человека, вероятность 4/5; ни одного 6 человек, вероятность 1/5; ровно один 16 человек, вероятность 8/15. Объясни разницу между последними двумя событиями. Круги/таблица служат проверкой состава, а не доказательством независимости.

3. Число названий не равно числу равных шансов

Два независимых броска правильной монеты: в каждом О и Р имеют вероятность 1/2. Ученик говорит: «0,1,2 орла - три исхода, значит хотя бы один орёл с вероятностью 2/3». Найди первый неверный шаг до просмотра дерева.

Правильность монеты и независимость заданы явно. Каждый путь имеет вероятность 1/4; категория «1 орёл» объединяет два пути.

Сделай сам: Объясни, почему «0,1,2 орла» нельзя считать тремя равновероятными исходами.

Хотя бы один орёл - три из четырёх путей, вероятность 3/4. Дерево можно заменить полным списком в тетради. В исходном опыте вероятности путей определены условиями; без независимости перемножать 1/2 автоматически нельзя.

4. Вероятности без перечисления исходов

В модели устройства A - сбой питания за день, B - сбой связи. Заданы 0,12;0,08;0,03 для A, B и их пересечения. Независимость не заявлена. Получаем: только A 0,09, только B 0,05, ни одного 0,83. Хотя бы один 0,17; ровно один 0,14. Здесь формула сложения работает без равновероятного конечного списка.

Число клеток пропорционально заданной вероятности. Подписи A/AB/B/прочерк различимы без цвета. Это не экспериментальные частоты.

Сделай сам: Выдели «ровно один сбой» и объясни, почему его вероятность 0,14, а объединения 0,17.

Проверь плохое условие: P(C)=0,70, P(D)=0,60, P(C∩D)=0,20. Объединение 1,10, поэтому модель невозможна: нельзя исправить противоречие простым округлением. Вероятности четырёх областей должны быть неотрицательны и в сумме давать 1.

5. Что нельзя додумывать

Несовместность означает пустое пересечение. Независимость означает P(A∩B)=P(A)·P(B). Это разные свойства. У несовместных событий с положительными вероятностями пересечение 0, а произведение положительно: они зависимы. При выборе 1,2,3,4 события «1» и «4» дают такой пример.

Если заданы только P(C)=0,55 и P(D)=0,35, объединение однозначно не найти: нужно пересечение или связь событий. Список карточек сам по себе также не устанавливает равновероятность выбора. Умение сказать «данных недостаточно» - часть решения.

6. Новый перенос без готовой схемы

Автобус вовремя с вероятностью 0,80, трамвай 0,70, оба вовремя 0,60. Найди: хотя бы один вовремя, оба опоздали, ровно один вовремя. Обоснуй, почему заданное пересечение нельзя заменить произведением 0,80·0,70. Сначала своя запись, затем разбор: ответы 0,90;0,10;0,30; произведение 0,56 противоречило бы данным о пересечении.

Материалы и самостоятельный итог

На странице отдельными карточками: W собственная модель, P практика, R ошибки, H помощь, T перенос/резерв/дом, E выходной билет, бумажная самопроверка и руководство с ключами. Общий PDF и ZIP - дополнительные форматы. Не открывай учительские ключи до своей попытки. Для урока 45 минут учитель выбирает основной маршрут, резерв не добавляется сверху.

Пройди нативную самопроверку ниже:8 вопросов, объяснение каждого варианта и новый пример после ответа. Первая попытка отличается от исправления; это средство обучения. Без телефона используй бумажный модуль, обратную связь после попытки даёт учитель; дома офлайн HTML работает из распакованного ZIP. Выходной билет E с новым условием сдаётся отдельно до ключей.

Дома за 5 минут: равновероятный выбор карточки 1-20; C кратно 4, D кратно 5. Выпиши пересечение, найди «хотя бы одно», «ни одно», «ровно одно», проверь перечислением. Условие и место ответа также в T4. Нужна только тетрадь.

Основа: ФРП математики 10-11, углублённый уровень,2025, раздел вероятности, стр.71-75; приём сопоставления представлений адаптирован по NRICH/Cambridge. Задания и схемы авторские. Учебник класса не назначается этим материалом. Комплект в классе не апробирован.

Материалы для самостоятельной работы

Откройте отдельные печатные модули и руководство в разделе «Материалы урока».

Самопроверка с объяснениями — учебная тренировка, не защищённая контрольная.

Все ученические модули одним PDF.

Комплект дополнений: PDF, редактируемые исходники и автономная самопроверка (ZIP).