Вниз по ступенькам

В данной задаче вам предлагается рассмотреть движение вниз по ступенькам в различных вариантах. В скобках в пунктах задачи указаны величины, через которые необходимо выразить ответ. Ускорение свободного падения — .

Часть А. Абсолютное скольжение

1. Две ступеньки

Шайба, размером которой можно пренебречь, скользит по гладкой горизонтальной поверхности с некоторой скоростью. На пути шайбы на расстоянии друг от друга находятся две ступеньки высотой (рис. 1). Будем считать, что соударения с шайбы с поверхностью неупругие в том смысле, что при столкновении «зануляется» вертикальная составляющая скорости, а горизонтальная сохраняется.

Рисунок 1 – Шайба и две ступеньки высокой

Если начальная скорость шайбы будет больше некоторого критического значения , шайба перелетит одну ступеньку и ударится в ее край.

A1.1. Найдите (, , ).

Далее будем рассматривать случаи и , когда начальная скорость шайбы больше или меньше критической соответственно, однако мало отличается от нее. Значения и считаем приближенно равными.

A1.2. В каком из случаев, или , время достижения некоторой точки за ступеньками (рис. 1) будет меньше?

A1.3. В каком из случаев, или , потери механической энергии по достижении точки будут меньше?

2. Бесконечная лестница.

Теперь предположим, что ступенек выстой на расстоянии друг от друга бесконечно много. Если посмотреть на них сбоку с большого расстояния, то будет казаться, что вся лестница представляет собой сплошную наклонную плоскость, а скачущая шайба казаться просто скользящей по ней.

A2.1. Считая, что изначально шайбу запустили со скоростью , найдите скорость ее кажущегося скольжения по такой наклонной плоскости (, , ).

Часть В. Трение скольжения

Снова рассмотрим случай двух ступенек из части А1. Пусть теперь присутствует сухое трение скольжения, одинаковое на всех поверхностях. Коэффициент трения скольжения равен . Будем считать трение небольшим настолько, что во всех рассматриваемых случаях шайба достигает точки (рис. 1).

B1.1 Пусть шайбу запустили со скоростью с края первой ступеньки. Считая, что время соударения очень мало, определите скорость шайбы сразу после первого неупругого соударения (, , , ).

B1.2 В каком из случаев, или , потери механической энергии будут меньше?