10 класс · BelPhO

Короткий толчок

BelPhO · Республиканская · 2019

Условие

Решение на сайте · без автопроверки

Если на тело действует некоторая сила в течение малого промежутка времени , очень часто используют теорему об изменении импульса тела (которая равносильна второму закону Ньютона): изменение импульса тела равно импульсу действующей силы: При этом пренебрегают смещением тела за время действия силы. Но в этом подходе скрыто противоречие: если скорость тела изменилась, то изменилась его кинетическая энергия. С другое стороны, справедлива теорема о кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела, равно работе внешних сил: $к и н$ Но если пренебречь смещением тела за время действия силы, то работа оказывается равной нулю (!), следовательно, энергия тела и его скорость не изменяется!

Продемонстрируйте свое понимание физики и используемых приближенных методов: покажите, что между этими теоремами никаких противоречий не возникает.

Во всех частях задачи рассматривается движение небольшой частицы (материальной точки) массы , имеющей постоянный электрический заряд .

Силой тяжести, силой сопротивления воздуха следует пренебрегать.

В ходе решения вам необходимо использовать единственную приближенную формулу, справедливую при малых значениях безразмерной величины : Эта формула справедлива при любых значениях показателя степени .

Часть 1. Постоянная сила.

Частица свободна и находится в состоянии покоя. На короткий промежуток времени включается постоянное электростатическое поле, напряженность которого равна .

1.1 Используя теорему об изменении импульса (1), найдите скорость , которую приобретет частица за время включения электрического поля. Постройте схематический график зависимости скорости частицы от времени.

1.2 Найдите скорость частицы после выключения поля , используя теорему о кинетической энергии (2). Постройте схематический график зависимости скорости частицы от ее координаты.

1.3 Совпадают ли значения скорости , полученные в пп. 1.1 – 1.2?

Часть 2. Сила упругости.

Частицу прикрепили с помощью легкой непроводящей пружины жесткостью к неподвижной стенке. Частица находится в состоянии покоя, затем на короткий промежуток времени включается постоянное электростатическое поле, напряженность которого постоянна (в течение указанного промежутка) равна и направлена вдоль пружины. При решении этой задачи вам следует использовать два приближения (и сравнить их между собой).

Первое приближение: пренебрегаем смещением частицы за время действия поля

Второе приближение: учитываем смещение частицы, но пренебрегаем изменением ее ускорения, т.е. считаем, что она движется с постоянным ускорением, равным ускорению в начальный момент времени.

2.1 Используя первое приближение, найдите приближенное значение скорости частицы сразу после выключения поля .

2.2 Используя теорему об изменении импульса (1), найдите значение скорости частицы сразу после выключения поля во втором приближении.

2.3 Разность между найденными значениями служит оценкой погрешности первого приближения. Найдите (в виде формулы) относительную погрешность значения скорости :

2.4 Получите формулу для значения скорости с помощью теоремы о кинетической энергии (2) во втором приближении.

2.5 Упростите формулу, полученную в п. 2.4, используя приближенную формулу (3). Сравните ее с формулой, полученной на основе теоремы об изменении импульса (п. 2.2). Совпадают ли они?

2.6 Какая из формул (п. 2.2 или п. 2.4) является правильной?

2.7 Найдите максимальное смещение частицы в процессе движения в первом приближении.

2.8 Найдите относительную погрешность найденного смещения, используя второе приближение.

Еще одна математическая подсказка:

*Если ускорение тела изменяется от времени по закону , то зависимость скорости от времени имеет вид , при этом зависимость координаты от времени . Предполагается, что начальная скорость и начальная координаты равны нулю.

Часть 3. Кулоновская сила.

Частицу поместили между обкладками сферического конденсатора. Конденсатор образован двумя концентрическими проводящими сферами, радиусы которых равны . Сначала частица касается внутренней сферы и находится в покое, затем на короткий промежуток времени обкладки подключают к источнику постоянного напряжения . При этом тело приходит в движение.

3.1 Чему равна напряженность поля у поверхности внутренней сферы ?

3.2 Выразите напряженность поля в точке , находящейся между сферами на расстоянии от их центра, через величину и геометрические размеры конденсатора. В дальнейших пунктах ответы выражайте через значение .

3.3 Найдите скорость частицы после выключения поля во втором приближении

3.4 Используя первое приближение, найдите время пролета частицы между обкладками конденсатора . Во втором приближении время движения может быть представлено в виде

, где - некоторая константа. Чему равен порядок степени поправки ? Доказывать приведенную формулу и определять коэффициент не требуется.

Моё решение

Запиши ход решения, затем сравни его с опубликованным разбором. Ответ сохраняется в этой вкладке до её закрытия.

Оригинал на BelPhO

Все задачи Подготовка · 10 класс