Изобарный процесс изменения состояния идеального газа

Воздух закрыли шариком на горле колбы. Шарик вялый, наружу воздух не выходит, но раздуться может. Колбу ставят в миску с тёплой водой. Шарик чуть округляется: объём вырос на несколько процентов, если вода лишь такая, какую терпит рука.

Это изобарный процесс: давление почти не меняется, а объём растёт вместе с температурой. Так устроен закон Гей-Люссака.

Постановка, не измерение. Чисел с рисунка не берут.

Что держат постоянным

Поршень лёгкий и может ехать. Снаружи на него давит воздух комнаты. Газ внутри не запирают жёстко и не выпускают. Давление газа остаётся близким к атмосферному. Масса газа та же.

Если банку оставить открытой, часть воздуха уйдёт. Масса уже не постоянна, и закон в таком опыте не проверяют. Если поршень заклинил или колбу закрыли наглухо и греют, объём не растёт. Давление тогда меняется. Это другой процесс, его формулу сегодня не пишем.

Свободный поршень отпускает объём и удерживает массу. Шкалы на стекле нет специально.

Идеальный газ здесь — модель сухого воздуха в кабинете, не пар и не жидкость. Рисунок шариков молекул мы не используем: закон читают по объёму и температуре порции.

Закон Гей-Люссака

Для постоянных давления и массы

$$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}.$$

$V$ — объём, $T$ — абсолютная температура в кельвинах. Школьное округление:

$$T = t + 273.$$

$t$ — показание в градусах Цельсия. В отношение $V/T$ число 27 вместо 300 K не ставят. При $0\ ^\circ\mathrm{C}$ объём газа не равен нулю.

Та же связь через объём $V_0$ при $0\ ^\circ\mathrm{C}$:

$$V = V_0\left(1 + \frac{t}{273}\right).$$

Это не второй закон. Из него снова выходит $V/T = V_0/273$.

Откуда берётся отношение

Уравнение состояния уже известно:

$$pV = \nu RT.$$

Если $p$ и количество вещества $\nu$ не меняются, то

$$\frac{V}{T} = \frac{\nu R}{p} = \mathrm{const}.$$

$R$ сегодня вычислять не нужно. Достаточно отношения двух состояний.

Пример

Воздух под свободным поршнем. Давление и масса постоянны. $V_1 = 300$ см³, $t_1 = 27\ ^\circ\mathrm{C}$, нагрели до $t_2 = 127\ ^\circ\mathrm{C}$.

$$T_1 = 300\ \mathrm{K}, \quad T_2 = 400\ \mathrm{K}.$$ $$V_2 = 300 \times \frac{400}{300} = 400\ \text{см}^3.$$

Объём вырос в $4/3$ раза. Подстановка градусов Цельсия дала бы $300 \times 127/27 \approx 1411$ см³. Это не ответ.

Для этого примера $V/T = 1$ см³/K, поэтому $V_0 = 273$ см³. Проверка: $273(1 + 27/273) = 300$, $273(1 + 127/273) = 400$.

Постановка после расчёта. На рисунке шарик может выглядеть круглее, чем в осторожном опыте. 400 см³ взяты из расчёта, не с фотографии.

Графики одного процесса

На осях $V$ и $T$, где $T$ в кельвинах, изобара — прямая через начало координат. Точки примера: $(300\ \mathrm{K};\ 300\ \text{см}^3)$ и $(400\ \mathrm{K};\ 400\ \text{см}^3)$. Продолжение к $T = 0$ — свойство модели. Реальный газ сжижается раньше.

Если по горизонтали отложены градусы Цельсия, прямая не проходит через начало координат. Нулевой объём модель даёт около $-273\ ^\circ\mathrm{C}$.

На осях $p$–$V$ и $p$–$T$ те же состояния лежат на горизонтальном отрезке: давление одно, объём и температура меняются. Более крутая прямая на осях $V$–$T$ при той же массе означает меньшее давление, потому что $V/T = \nu R/p$. Вертикальную линию постоянного объёма сегодня не строим. Изотерму заново не выводим: там постоянной была температура.

Частые ошибки

Что можно сделать дома

Сухая стеклянная банка и шарик на горле. Банку ставят в миску с тёплой водой из-под крана, такую, чтобы руке было спокойно. Плита, кипяток и телефон не нужны. Записывают одну фразу: что стало с шариком и почему массу воздуха можно считать прежней.

Нет банки — только расчёт. $V_1 = 400$ см³ при $7\ ^\circ\mathrm{C}$. Какой объём при $77\ ^\circ\mathrm{C}$, если давление и масса те же?

Домашняя постановка. Шарик не греют на огне.

Серию объёмов и температур, таблицу и погрешность здесь не делают. Это следующее занятие, лабораторная работа.

Проверь себя

Сначала запиши. Разбор ниже закрыт, пока сам не попробуешь.

1. Почему в $V_1/T_1 = V_2/T_2$ нельзя подставить $27$, если термометр показывает $27\ ^\circ\mathrm{C}$?
2. $V_1 = 280$ см³, $t_1 = 7\ ^\circ\mathrm{C}$, $t_2 = 77\ ^\circ\mathrm{C}$, давление и масса постоянны. Найди $V_2$.
3. Поршень заклинило и газ греют. Можно ли искать новый объём по закону Гей-Люссака?
4. На осях $V$ и $T$ в кельвинах изобара проходит через начало. Что это говорит об объёме при $T = 0$ в модели идеального газа?
5. Банку без шарика погрели на столе. Сохранилась ли масса воздуха внутри?

Показать ответ после выполнения

Коротко

• Изобарный процесс: давление и масса идеального газа постоянны, меняются объём и температура.
• Закон Гей-Люссака: $V_1/T_1 = V_2/T_2$, температура в кельвинах, $T = t + 273$.
• Запись $V = V_0(1 + t/273)$ — тот же закон. $V_0$ — объём при $0\ ^\circ\mathrm{C}$.
• На $V$–$T$ изобара идёт через начало. На $p$–$V$ и $p$–$T$ это горизонтальный отрезок.
• Рисунок не измеряет объём. Серия измерений — следующее занятие.