Уравнение теплового баланса

Если смешать горячую и холодную воду, установится общая температура. Можно ли узнать её до опыта — и почему она не всегда равна среднему арифметическому начальных температур?

Это постановочная учебная иллюстрация. Она помогает сделать прогноз, но не показывает результат измерения.

Сначала прогноз

Пусть горячая вода имеет температуру $t_\text{г}$, холодная — $t_\text{х}$, а после смешивания установилась температура $t$. Если система не получает энергию извне и нет фазовых переходов, то

$$t_\text{х}<t<t_\text{г}.$$

Горячая вода охлаждается и отдаёт энергию. Холодная вода нагревается и получает энергию. Теплообмен прекращается при достижении теплового равновесия — состояния, в котором температуры участников одинаковы.

Закон сохранения энергии

В идеальной теплоизолированной системе количество теплоты, отданное более горячими телами, равно количеству теплоты, полученному более холодными телами:

$$Q_\text{отд}=Q_\text{пол}.$$

Это уравнение теплового баланса в модульной записи. Эквивалентная знаковая запись:

$$Q_1+Q_2+\ldots+Q_n=0,$$

если для каждого участника использовать алгебраическое изменение температуры $\Delta t=t_\text{кон}-t_\text{нач}$.

Стрелки показывают направление передачи энергии. Это схема процесса, а не фотография движения частиц.

Как записать количество теплоты каждого тела

Для нагревания или охлаждения без фазового перехода:

$$|Q|=cm|\Delta t|.$$

Для горячего тела:

$$Q_\text{отд}=c_\text{г}m_\text{г}(t_\text{г}-t).$$

Для холодного тела:

$$Q_\text{пол}=c_\text{х}m_\text{х}(t-t_\text{х}).$$

Поэтому для двух тел идеальный баланс имеет вид

$$c_\text{г}m_\text{г}(t_\text{г}-t) =c_\text{х}m_\text{х}(t-t_\text{х}).$$

Разности температур здесь положительны: отдающее тело было горячее конечной температуры, а получающее — холоднее неё.

Маршрут решения из шести шагов

1. Прогноз: запиши диапазон конечной температуры.
2. Роли: определи, кто отдаёт и кто получает энергию.
3. Количество теплоты: запиши $cm|\Delta t|$ отдельно для каждого участника.
4. Баланс: приравняй сумму отданной и сумму полученной теплоты.
5. Алгебра: реши уравнение, сохрани единицу искомой величины.
6. Проверка: проверь диапазон и подставь ответ назад в обе части баланса.

Сокращают только общий ненулевой множитель, одинаковый во всей левой и правой частях.

Полный пример: смешивание воды

Смешали $0{,}20\ \text{кг}$ воды при $80\ ^\circ\text{C}$ и $0{,}30\ \text{кг}$ воды при $20\ ^\circ\text{C}$. Потерями энергии пренебречь.

$$20\ ^\circ\text{C}<t<80\ ^\circ\text{C}.$$

Обе порции — вода, поэтому $c$ является общим множителем:

$$cm_\text{г}(80-t)=cm_\text{х}(t-20),$$ $$0{,}20(80-t)=0{,}30(t-20),$$ $$16-0{,}20t=0{,}30t-6,$$ $$22=0{,}50t,\qquad t=44\ ^\circ\text{C}.$$

Обратная энергетическая проверка при $c=4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C})$:

$$Q_\text{отд}=4200\cdot0{,}20\cdot(80-44)=30240\ \text{Дж},$$ $$Q_\text{пол}=4200\cdot0{,}30\cdot(44-20)=30240\ \text{Дж}.$$

Баланс выполнен. Конечная температура не равна $50\ ^\circ\text{C}$, потому что холодной воды больше.

Когда можно использовать среднее

Для двух порций одной жидкости без потерь

$$t=\frac{m_\text{г}t_\text{г}+m_\text{х}t_\text{х}} {m_\text{г}+m_\text{х}}.$$

Простое среднее арифметическое получается только при равных массах. Для разных веществ учитывают и массы, и удельные теплоёмкости:

$$t=\frac{c_1m_1t_1+c_2m_2t_2}{c_1m_1+c_2m_2}.$$

Готовые выражения полезны для проверки, но основной маршрут через $Q$ каждого участника лучше показывает физический смысл.

Реальный опыт и идеальная модель

Горячую воду смешивает только учитель на устойчивом поддоне. Ученики анализируют заранее подготовленные данные.

Учебный модельный набор данных:

Для горячей воды:

$$Q_\text{г}=4200\cdot0{,}15\cdot(70-37)=20790\ \text{Дж}.$$

Для холодной воды:

$$Q_\text{х}=4200\cdot0{,}25\cdot(37-20)=17850\ \text{Дж}.$$

Разность равна $2940\ \text{Дж}$. Это не нарушение закона сохранения энергии. В двухучастной модели не учтены калориметр, термометр, воздух, испарение и теплообмен во время переливания.

$$Q_\text{г}=Q_\text{х}+Q_\text{кал}+Q_\text{среды}.$$

Измерительные приборы и сосуд тоже могут участвовать в теплообмене. Их нельзя молча считать «погрешностью».

Как улучшить модель

• заранее измерить температуру калориметра;
• использовать крышку и теплоизоляцию;
• сократить время переливания и считывания;
• учесть теплоёмкость сосуда, если она известна;
• повторить измерение и сравнить результаты.

Изображение показывает возможных дополнительных получателей энергии; величины потоков на нём не измерены.

Частые ошибки

Самостоятельная практика

A. Конечная температура. Смешали $0{,}40\ \text{кг}$ воды при $60\ ^\circ\text{C}$ и $0{,}20\ \text{кг}$ воды при $15\ ^\circ\text{C}$. Потерями пренебречь. Найди $t$.

B. Неизвестная масса. Сколько воды при $20\ ^\circ\text{C}$ надо добавить к $0{,}30\ \text{кг}$ воды при $70\ ^\circ\text{C}$, чтобы получить смесь при $40\ ^\circ\text{C}$?

C. Разные вещества. Алюминиевый цилиндр массой $0{,}10\ \text{кг}$ при $100\ ^\circ\text{C}$ опустили в $0{,}20\ \text{кг}$ воды при $20\ ^\circ\text{C}$. Используй $c_\text{Al}=900\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C})$ и $c_\text{в}=4200\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C})$. Найди $t$.

Проверь себя

1. Как определить, какое тело отдаёт энергию?
2. Почему конечная температура идеальной системы лежит между начальными?
3. В чём смысл равенства $Q_\text{отд}=Q_\text{пол}$?
4. Когда при смешивании воды можно сократить $c$?
5. Почему для алюминия и воды нельзя сократить $c$?
6. Назови двух дополнительных участников реального теплообмена.

Сначала реши задания самостоятельно. Затем переходи к ответам.

Ответы

1. Отдаёт энергию тело, температура которого уменьшается.
2. Горячее тело охлаждается, а холодное нагревается до общей промежуточной температуры.
3. В идеальной изолированной системе энергия отдающих тел полностью получена нагревающимися телами.
4. Когда обе порции — одно вещество и $c$ является общим множителем обеих частей.
5. Их удельные теплоёмкости различны.
6. Например, калориметр и воздух; также термометр.

Самостоятельная практика:

A.

$$0{,}40(60-t)=0{,}20(t-15),\qquad t=45\ ^\circ\text{C}.$$

Проверка: $15<45<60$.

B.

$$0{,}30(70-40)=m(40-20),\qquad m=0{,}45\ \text{кг}.$$

Обратная проверка: $0{,}30\cdot30=0{,}45\cdot20=9$.

C.

$$900\cdot0{,}10(100-t)=4200\cdot0{,}20(t-20),$$ $$t\approx27{,}7\ ^\circ\text{C}.$$

Проверка: $20<27{,}7<100$. Ответ ближе к температуре воды, потому что теплоёмкость порции воды намного больше теплоёмкости цилиндра.

Короткий итог

• Перед вычислением прогнозируют диапазон конечной температуры и роли тел.
• В идеальной системе $Q_\text{отд}=Q_\text{пол}$.
• Количество теплоты каждого участника записывают отдельно как $cm|\Delta t|$.
• Сокращают только действительно общий множитель.
• Ответ проверяют по диапазону, единице и обратному балансу.
• Расхождение реального опыта с двухучастной моделью указывает на дополнительных участников теплообмена.