Единица сопротивления. Расчёт сопротивления

Перед тобой три провода. Один длиннее, другой толще, третий изготовлен из другого металла. Какой из них сильнее препятствует электрическому току? Одного взгляда недостаточно: нужно менять по одному условию и сравнивать честно.

Безопасность. Реальный опыт выполняют только с исправным учебным источником низкого напряжения. Источник выключают, а ключ размыкают перед каждой заменой проводника. Амперметр включают последовательно. Ключ замыкают кратковременно, чтобы проволока не нагревалась.

Один ом

Из закона Ома для участка цепи

$$I=\frac{U}{R}$$

получаем выражение для сопротивления:

$$R=\frac{U}{I}.$$

Если напряжение на концах проводника равно $1\ \text{В}$, а сила тока в нём равна $1\ \text{А}$, то сопротивление проводника равно $1\ \text{Ом}$:

$$1\ \text{Ом}=1\ \frac{\text{В}}{\text{А}}.$$

Для больших сопротивлений используют кратные единицы:

$$1\ \text{кОм}=10^3\ \text{Ом},\qquad 1\ \text{МОм}=10^6\ \text{Ом}.$$

Сопротивление можно найти по измеренным $U$ и $I$ или измерить омметром при соблюдении инструкции к прибору.

Почему металл сопротивляется току

Это учебная модель, а не микрофотография. Свободные электроны участвуют в тепловом движении и под действием электрического поля приобретают направленное движение. В металлическом проводнике они взаимодействуют с частицами кристаллической решётки. Эти взаимодействия затрудняют направленное движение и сопровождаются передачей энергии решётке — проводник может нагреваться.

Теперь проверим, какие свойства конкретного проводника определяют его сопротивление $R$. Во всех сравнениях считаем температуру постоянной. Для реального измерения к каждому образцу прикладывают одно и то же измеренное напряжение $U$, записывают силу тока $I$ и вычисляют $R=U/I$. Если демонстрационного набора нет, используют заранее подготовленную таблицу $U$, $I$ и $R$; указанные ниже точные отношения относятся к идеализированным данным и затем подтверждаются формулой.

Опыт 1. Меняем только длину

Берём два проводника из одного материала с одинаковой площадью поперечного сечения. Второй проводник в два раза длиннее первого.

При прочих равных сопротивление прямо пропорционально длине:

$$R\sim \ell.$$

Чем длиннее путь направленного движения электронов, тем больше взаимодействий с решёткой приходится на этот путь.

Опыт 2. Меняем только площадь сечения

Теперь материал и длина одинаковы, а площадь поперечного сечения второго проводника в два раза больше.

При прочих равных сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения:

$$R\sim\frac{1}{S}.$$

Толстый провод имеет больше доступных путей для движения носителей заряда, поэтому его сопротивление меньше, а не больше.

Опыт 3. Меняем только материал

Кадр показывает контролируемое сравнение: длина и диаметр образцов одинаковы. Численные выводы делают по измерениям $U$ и $I$ с расчётом $R=U/I$ или по проверенным табличным данным.

Даже при одинаковых $\ell$ и $S$ проводники из разных веществ имеют разные сопротивления. Свойство материала характеризует удельное сопротивление $\rho$.

Удельное сопротивление $\rho$ — свойство материала, а сопротивление $R$ — характеристика конкретного проводника. Число $\rho$ в таблице равно сопротивлению образца этого материала длиной $1\ \text{м}$ и площадью сечения $1\ \text{мм}^2$ при указанной температуре. Нельзя заменять одну величину другой.

Формула сопротивления проводника

Объединим три зависимости:

$$R=\rho\frac{\ell}{S}.$$

Здесь:

• $R$ — сопротивление проводника;
• $\rho$ — удельное сопротивление материала;
• $\ell$ — длина проводника;
• $S$ — площадь его поперечного сечения.

Если $\rho$ дано в $\text{Ом}\cdot\text{мм}^2/\text{м}$, удобно подставлять $\ell$ в метрах, а $S$ — в квадратных миллиметрах. Тогда ответ получится в омах.

Разобранный пример

Нихромовая проволока имеет $\rho=1{,}1\ \text{Ом}\cdot\text{мм}^2/\text{м}$, длину $\ell=2{,}0\ \text{м}$ и площадь сечения $S=0{,}50\ \text{мм}^2$. Найдём сопротивление.

$$R=\rho\frac{\ell}{S} =1{,}1\ \frac{\text{Ом}\cdot\text{мм}^2}{\text{м}} \cdot\frac{2{,}0\ \text{м}}{0{,}50\ \text{мм}^2} =4{,}4\ \text{Ом}.$$

Проверим результат:

• единицы $\text{м}$ и $\text{мм}^2$ сократились, остался ом;
• увеличение длины увеличило сопротивление;
• уменьшение площади сечения увеличило сопротивление.

Частые ошибки

Проверь себя

1. Как изменится сопротивление, если длину проводника увеличить в три раза, не меняя материал и сечение?
2. Как изменится сопротивление, если площадь сечения увеличить в четыре раза?
3. Чем сопротивление $R$ отличается от удельного сопротивления $\rho$?
4. Какое сопротивление имеет медный провод длиной $10\ \text{м}$ и площадью сечения $1{,}0\ \text{мм}^2$, если $\rho=0{,}017\ \text{Ом}\cdot\text{мм}^2/\text{м}$?
5. Длину провода увеличили в два раза, а площадь сечения — в четыре раза. Как изменилось $R$?
6. Почему при сравнении проводников ключ замыкают кратковременно?

Итог

• Сопротивление измеряют в омах: $1\ \text{Ом}=1\ \text{В}/1\ \text{А}$.
• Сопротивление конкретного проводника растёт с длиной и уменьшается с площадью сечения.
• Удельное сопротивление $\rho$ характеризует материал при заданной температуре.
• Расчётная формула: $R=\rho \ell/S$.
• Перед подстановкой обязательно согласуют единицы.

Ответы

1. Увеличится в три раза, потому что $R\sim \ell$.
2. Уменьшится в четыре раза, потому что $R\sim1/S$.
3. $R$ относится к конкретному проводнику и зависит от материала, длины и сечения; $\rho$ характеризует материал при заданной температуре.

$$R=0{,}017\cdot\frac{10}{1{,}0}=0{,}17\ \text{Ом}.$$

$$R' = \rho\frac{2\ell}{4S}=\frac{R}{2}.$$

Сопротивление уменьшилось в два раза. 6. Чтобы проводник не успел заметно нагреться: температура влияет на сопротивление и нарушила бы условие честного сравнения.