Закон всемирного тяготения

Один закон для разных масштабов

Тяготение присуще всем телам. Фотореалистичные космические сцены этого урока — сгенерированные иллюстрации, не снимки конкретной миссии. Численные данные берём из условия задачи.

Две силы равны по модулю

Сила первого тела на второе равна по модулю силе второго на первое. Они противоположны, но не компенсируются на одном теле: приложены к разным телам. $F=Gm_1m_2/r^2$, G=6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг².

Где формула применима

Точная формула подходит материальным точкам и неперекрывающимся однородным шарам; r — между центрами. Для сложной близкой формы просто подставлять расстояние между центрами нельзя. В повседневных условиях взаимное тяготение малых масс трудно заметить на фоне других сил.

Не спутай высоту и радиус

Вне сферически симметричной планеты $g=GM/(R+h)^2$. На поверхности h=0; на высоте R расстояние от центра уже 2R. Если g₀=8 м/с², на такой высоте g=2 м/с². G — постоянная закона, g — местное ускорение.

Квадрат в знаменателе

Если m₁ удвоить и r удвоить, при неизменной m₂ сила станет вдвое меньше: 2/2²=1/2. Своя попытка: обе массы удвоили и r удвоили. Проверка: (2·2)/2²=1, сила прежняя. Кривая построена для r≥r₀; точку r=0 модель не включает.

Масса падающего тела сокращается

Из mg=GMm/r² получаем g=GM/r². При том же месте разные массы получают одинаковое ускорение тяготения; это не означает равные силы. Сопротивление воздуха в эту модель не включено.

Закон работает и на орбите

Сила к центру меняет направление скорости. У круговой орбиты ускорение равно v²/r; связь с тяготением позволит на следующем уроке найти скорость спутника.

Не заменяй одно понятие другим

Тяготение действует на тело со стороны планеты, вес действует со стороны тела на опору или подвес. Показание опоры зависит ещё и от ускорения. Поэтому в задачах этого урока вычисляем именно силу тяготения или g.

Проверь себя

Запиши решение до открытия ключей. G=6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Формула F=Gm₁m₂/r² применяется к материальным точкам или неперекрывающимся однородным шарам. Расстояние r измерено между центрами.

А. Массу первого тела увеличили в 3 раза, массу второго — в 2 раза, расстояние между центрами — в 3 раза. Найди F₂/F₁.

Б. Два однородных шара массами 8 кг и 12 кг имеют радиусы по 0,10 м. Расстояние между центрами 2 м. Найди силу тяготения.

В. На поверхности сферической планеты g₀=12 м/с². Найди g на высоте h=R, где R — радиус планеты.

Новая попытка после ошибки. После исправления закрой ответы и реши: Расстояние между центрами уменьшили в 2 раза, массу одного тела увеличили в 3 раза. Во сколько раз изменилась сила?

Показать ответ после выполнения

Домашняя работа

Сферическая планета имеет массу в 4 раза больше земной, а радиус в 2 раза больше. Сравни поверхностные ускорения g. У другой условной планеты на поверхности g=9 м/с². Найди её g на высоте 2 её радиуса.

Главное

Все тела притягиваются. Сила пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна r². Взаимные силы равны; для планеты g=GM/(R+h)².