Практикум: тяготение и движение спутников

Что удерживает спутник

После выключения двигателя спутник не теряет скорость мгновенно. Тяготение меняет направление его движения. Здесь рассматриваем круговую орбиту малого спутника вне атмосферы; космические фотореалистичные изображения сгенерированы и не являются снимками реальной миссии.

Тяготение создаёт ускорение к центру

Не добавляй «центростремительную силу» к тяготению. В нашей модели тяготение и есть равнодействующая: $GMm/r^2=mv^2/r$. Поэтому $v=\sqrt{GM/r}$. Спутники разных малых масс на одной круговой орбите имеют одинаковую скорость.

Вычисляй в СИ

Учебный пример: GM=4·10¹⁴ м³/с², r=10⁷ м. Получаем v≈6325 м/с, g=4 м/с². Своя попытка: то же GM, r=1,6·10⁷ м. Проверка после решения: v=5000 м/с, g=1,5625 м/с². Квадрат относится ко всему радиусу, включая степень десяти.

Высота отсчитывается от поверхности

Если R=6·10⁶ м, h=2·10⁶ м, радиус орбиты r=8·10⁶ м. Сначала найди r, затем подставляй в формулы. Для периода путь за оборот равен 2πr, поэтому $T=2\pi r/v$. Полученные секунды дели на 60 для перевода в минуты.

Более высокая орбита — меньшая скорость

Для одной планеты v пропорциональна 1/√r. Если r увеличить в 4 раза, v уменьшится вдвое, а T увеличится в 8 раз: путь вырос в 4 раза, скорость уменьшилась в 2. График показан только при r≥r₁.

Почему предметы внутри не падают на пол

Станция и предметы внутри свободно падают вместе. Земное притяжение сохраняется; отсутствие обычного давления на опору объясняется совместным движением. На следующем уроке различим силу тяжести, вес и реакцию опоры.

Связь с горизонтальным броском

При обычном броске тело вскоре встречает поверхность. При подходящей скорости за пределами атмосферы траектория огибает планету. Формула горизонтального броска с постоянным направлением g годится для небольшой области около поверхности, но не для полного витка.

Проверь выбор модели

Сравни струю и спутник: в обоих случаях тяжесть меняет направление скорости, но геометрия разная. Для спутника на круговой орбите используем расстояние от центра планеты и ускорение v²/r; для короткого полёта у поверхности — почти постоянное g вниз.

Проверь себя

Запиши решение до открытия ключей. Каждая задача независима. Орбита круговая вокруг сферически симметричной планеты; масса спутника пренебрежимо мала. При сравнении орбит планета одна и та же. Нет атмосферы и тяги двигателя. GM — произведение G и массы планеты. Если нужен период, π≈3,14.

А. Условная планета: R=4·10⁶ м, GM=1,6·10¹⁴ м³/с². Спутник движется на высоте h=6·10⁶ м. Найди r, g на орбите и v.

Б. Спутник на круговой орбите радиусом 8·10⁶ м имеет скорость 5000 м/с. Найди период в секундах и минутах, приняв π=3,14.

В. У двух малых спутников одной планеты r₂=4r₁, а масса второго в 5 раз больше. Сравни v₂/v₁ и g₂/g₁.

Новая попытка после ошибки. После исправления закрой ответы и реши: Для той же планеты радиус круговой орбиты увеличили в 9 раз. Как изменились скорость и период?

Показать ответ после выполнения

Домашняя работа

Условная планета: GM=3,6·10¹³ м³/с². Круговая орбита r=4·10⁶ м. Найди v и g. Что произойдёт с ними при удвоении массы малого спутника?

Главное

На круговой орбите GMm/r²=mv²/r. Отсюда v=√(GM/r), T=2πr/v. Чем выше круговая орбита одной планеты, тем меньше скорость и больше период.