Множества и операции над ними

На столе лежат карандаш, линейка, ластик и кисть. Можно собрать «предметы для письма» и «предметы для рисования». Может ли один предмет попасть сразу в две группы? Сначала назови признак, по которому отбираешь предметы.

Иллюстрация помогает поставить вопрос о признаке. Для задач ниже используем точно перечисленные элементы, а не угадываем по рисунку.

Чему научимся

В § 9 «Множества. Операции над множествами» учебника В. М. Котова и А. И. Лапо (2025, с. 57–64) рассматриваются элементы множества, способы его задания, подмножество, пустое множество, мощность, круги Эйлера, пересечение и объединение. На с. 57 начало параграфа следует после последнего упражнения § 8; на с. 64 он заканчивается перед § 10.

К концу урока ты сможешь по точно заданным двум множествам найти их общие элементы и все элементы хотя бы одного множества, изобразить результат кругами Эйлера и объяснить его словами. Результат запишешь в личном рабочем листе и отдельном выходном билете.

Множество и элемент

Множество — совокупность объектов с общим свойством. Объекты называют элементами множества. Множество можно задать перечислением элементов или указанием общего свойства. В конечном множестве порядок записи не меняет состав, а повторная запись одного элемента не создаёт новый элемент.

Например, A = {2, 4, 6} — множество трёх чисел. Пишем 4 ∈ A («4 принадлежит A») и 5 ∉ A («5 не принадлежит A»). Мощность множества — число его различных элементов; здесь |A| = 3.

В учебнике множество школьных предметов задано перечислением, а множество однозначных натуральных чисел — общим свойством. Слова «множество красивых вещей» для точной задачи неудобны: признак «красивый» люди могут понимать по-разному.

Пустое множество не содержит ни одного элемента. Его обозначают ∅; мощность равна нулю. Пустая коллекция на рисунке — образ, а не сама математическая запись.

Подмножество: каждый элемент входит в большее множество

Пусть A = {2, 4, 6} и C = {2, 6}. Каждый элемент C входит в A, поэтому C — подмножество A; записываем C ⊂ A в обозначении учебника. Проверить нужно все элементы C. Если хотя бы один не входит в A, утверждение о подмножестве ложно.

Большая и малая области показывают идею вложения. Точные множества C и A заданы числами в тексте.

Круги Эйлера изображают множества областями: маленький круг внутри большого показывает подмножество. Один и тот же элемент может входить в несколько подмножеств одного множества. Например, число 6 одновременно входит в подмножество чётных чисел и в подмножество чисел больше 5.

Пересечение: подходит сразу для двух множеств

Пусть A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}. Пересечение A ∩ B содержит элементы, принадлежащие и A, и B: A ∩ B = {4, 6}. На кругах Эйлера это только общая область. Если общих элементов нет, пересечение пусто.

Рисунок показывает общую область; учебные числа расположим на отдельной точной схеме. Для четырёх областей зададим демонстрационный U = {1, 2, 4, 5, 6, 9} — все рассматриваемые числа. По спискам A, B и U предскажи, какие числа останутся вне обоих множеств, затем сверь с таблицей.

Четвёртая область существует потому, что заранее задано U. Здесь это демонстрационный набор; ниже в личной практике будет другой U.

Пересечение похоже на логическое И из предыдущих уроков: элемент должен удовлетворять обоим условиям принадлежности.

Объединение: подходит хотя бы для одного

Объединение A ∪ B содержит все элементы A или B, включая общие: A ∪ B = {2, 4, 5, 6}. Числа 4 и 6 записаны по одному разу. На кругах Эйлера закрашиваются обе области целиком, включая середину.

Эти две иллюстрации помогают сравнить пересечение и объединение. Они не задают числовой ответ: его вычисляют из списков элементов.

Объединение похоже на включающее логическое ИЛИ: элемент может принадлежать одному множеству или обоим сразу. Для конечных множеств число элементов объединения можно проверить так: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. В примере 3 + 3 − 2 = 4: общие элементы не надо считать дважды.

Перед самостоятельной работой

При наличии распечаток учитель раздаёт рабочий лист и отдельный выходной билет в начале урока; билет переверни до итогового этапа. Если распечаток нет, запиши задания с доски в тетрадь и оставь отдельное место для билета. В задании 1 за первые четыре минуты попробуй выписать из A = {2, 4, 6} элементы и число элементов, а также проверить 4 ∈ A и 5 ∈ A. Это проба до объяснения, её не оценивают: к ответам вернёмся после разбора понятий. Не открывай ключ заранее.

На 22–24-й минутах — пауза без экрана: прекрати смотреть на экран, измени позу и следуй указанию учителя. Основная работа проходит на бумаге; телефон и интернет не нужны.

Личная практика: 24–36-я минуты

На листе заданы U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 2, 4, 7}, B = {2, 3, 4, 6}. Здесь U — все рассматриваемые числа. Работай по шагам, не подменяй точные списки картинкой.

1. Разложи элементы по областям: только A; A и B; только B; ни A, ни B (но в U). Каждый элемент U должен оказаться ровно в одной из четырёх областей.
2. Запиши A ∩ B и A ∪ B, затем их мощности. Объясни, почему общий элемент в объединении записывается один раз.
3. Для C = {2, 4} и D = {2, 5} проверь, являются ли они подмножествами A. Укажи элемент, который опровергает неверное утверждение.

План времени: 5 минут на области, 4 на операции, 2 на подмножества и 1 минута запаса. Если нужна помощь, сначала сделай собственную попытку, затем возьми отдельную карточку с наводящими вопросами. Быстро закончившим — отдельная карточка переноса; она не обязательна всем.

Вопросы после § 9 учебника

На с. 61 учебника помещены десять вопросов. Сначала ответь своими словами; после самостоятельной работы сравни с кратким ключом ниже.

1. Что называют множеством?
2. Какими двумя способами можно его задать? Приведи пример.
3. Что означает «C — подмножество A»?
4. Как можно изобразить множества геометрически?
5. Какое множество называют пустым?
6. Что показывает мощность множества?
7. Может ли один элемент входить в разные подмножества одного множества?
8. Какие элементы входят в пересечение?
9. Какие элементы входят в объединение?
10. Какими знаками обозначают пересечение и объединение?

Это смысловое воспроизведение всех вопросов, а примеры и тренировка в этом уроке авторские. Вопросы 1–6 можно проверить устно в ходе объяснения; 7–10 — после схемы или дома.

Выходной билет: 36–40-я минуты

На заранее выданном отдельном билете или на отдельной части тетрадного листа ответь без ключа. Даны P = {круг, квадрат} и Q = {квадрат, треугольник}.

1. Запиши P ∩ Q и объясни, почему этот элемент общий.
2. Запиши P ∪ Q. Сколько различных элементов получилось?
3. Является ли {квадрат} подмножеством P и Q? Коротко обоснуй.

На 40–44-й минутах учитель открывает один образец ответа. Если нашёл ошибку, исправь её и подпиши причину: можно другим цветом или обычной ручкой с пометкой «исправление». Если ошибок нет, подпиши краткое обоснование одного верного ответа. Затем сдай билет или отдельный тетрадный лист с ним. Последняя минута — запись домашнего задания.

Показать ответ после выполнения

Итог и домашнее задание

Пересечение требует принадлежности обоим множествам, объединение — хотя бы одному. Подмножество проверяют по каждому его элементу. Круги помогают увидеть состав, но окончательный ответ записывают по точному списку.

Дома: прочитай § 9, с. 57–64, ответь письменно на вопросы 7–10 после параграфа (с. 61). Выполни упражнение 6, пункт 1 (с. 63): найди пересечение и объединение двух данных в учебнике множеств школьных предметов и изобрази кругами Эйлера. Сначала выдели общие элементы, затем оставшиеся. Если учебника под рукой нет, учитель может выдать карточку с полными данными упражнения.

Если нет ни учебника, ни распечатки, вместо упражнения 6.1 и вопросов 7–10 запиши короткую тетрадную замену: H = {1, 3, 5}, K = {3, 4, 5}. Найди H ∩ K, H ∪ K и вычисли именно четыре мощности: |H|, |K|, |H ∩ K|, |H ∪ K|. Изобрази три области двух кругов: только H, общую часть, только K. Внешнюю область без заданного U искать не нужно. Одним предложением объясни, чем пересечение отличается от объединения. Это отдельные авторские данные; ученик с учебником выполняет именно задание учебника.

Источники и границы

Основа: В. М. Котов, А. И. Лапо, «Информатика», 7 класс, 2025, § 9, с. 57–64, официальный PDF; учебная программа РБ 2026 года № 132. Данные личной практики, билета и иллюстрации созданы для MediaSchool. Иллюстрации — учебные метафоры; точные элементы всегда приведены текстом.