Системы счисления. Позиционная запись числа и римские цифры

Научимся отличать число от его записи, объяснять вклад цифры через разряд и читать простые римские числа. Для заданий достаточно бумаги и памятки ниже. Внешний ИИ, регистрация и калькулятор не нужны.

Безопасное начало

Организуй рабочее место по правилам кабинета: руки сухие, напитки и лишние вещи убраны, провода и разъёмы не трогай. О неполадке сообщи учителю. Чередуй экран и бумагу; на уроке предусмотрена двухминутная пауза без проекции. Конкретные правила работы задаёт школа.

Одно число — несколько записей

На столе 12 одинаковых жетонов. Количество можно обозначить десятичной записью 12 или римской XII. Число остаётся тем же, меняется его представление. Мы рассматриваем целые неотрицательные числа и обозначение количества объектов.

Цифра — знак для записи числа. Например, десятичная запись 507 состоит из цифр 5, 0 и 7. Цифра и число — разные понятия: одна цифра может быть записью однозначного числа. Система счисления задаёт знаки и правила записи чисел.

S0. На столе 12 одинаковых жетонов. На карточках записано 12 и XII. Могут ли обе карточки обозначать число жетонов? Что здесь число, а что — его запись?

Позиционная запись: место задаёт вес

В десятичной позиционной системе значение цифры умножается на вес её разряда. Справа налево идут единицы, десятки, сотни, тысячи: 1, 10, 100, 1000. Каждый шаг влево увеличивает вес в 10 раз.

507 = 5×100 + 0×10 + 7×1. Это развёрнутая форма записи. Не складывай только значения цифр: сумма 5+0+7 не равна 507, потому что теряет сведения о местах.

Иллюстрация показывает идею отдельных мест. Точные веса и значения заданы таблицей и текстом, а не формой предметов.

M1. В десятичной записи 303 две цифры 3. Укажи вклад каждой в значение числа и запиши число как сумму разрядных слагаемых.

Подсказка при затруднении: подпиши под каждой цифрой вес её места, затем умножь.

Зачем нужен ноль

В записи 208 нет десятков: 208 = 2×100 + 0×10 + 8×1. Если вычеркнуть внутренний ноль, получится 28, и вклад цифры 2 изменится с 200 на 20. Ноль обозначает отсутствие единиц своего разряда и удерживает место. Начальный ноль в записи целого числа без дробной части веса остальных цифр не меняет: 0208 = 208.

Z1. Сравни десятичные записи 208, 28 и 0208. Какие обозначают одно число? Почему удаление одного нуля иногда меняет значение, а иногда нет?

Основание и алфавит

В позиционной системе с целым основанием b ≥ 2 используется b разных цифр. В стандартной записи их значения идут от 0 до b−1. Для основания 5 алфавит состоит из 0, 1, 2, 3, 4. Поэтому основание и самая большая допустимая цифра — разные числа.

Веса мест справа налево равны b⁰, b¹, b², b³, …, то есть 1, b, b², b³, …. Начинаем с единиц: b⁰ = 1. Для основания 5 это 1, 5, 25, 125. Маленький индекс у записи обозначает основание, а не множитель всего числа.

Пример: 132₅ = 1×25 + 3×5 + 2×1 = 42₁₀. Цифры те же привычные, но веса мест другие. Здесь мы только раскрываем уже заданную запись; алгоритмы перевода двоичных чисел будут на следующих уроках.

B1. В пятеричной позиционной системе разрешены цифры 0, 1, 2, 3, 4. Запись 124₅ имеет веса разрядов 25, 5, 1. Найди её значение в десятичной системе. Допустима ли запись 152₅? Объясни.

Подсказка: сначала проверь каждый знак по алфавиту. Вычисление не превращает недопустимую запись в правильную.

Пауза

Отведи взгляд от экрана, расслабь кисти и плечи. В классе — две минуты без проекции и заданий. Движения выбирай по указанию учителя.

Римская запись: значения символов фиксированы

Римские цифры встречаются в названиях глав и веков, на циферблатах. В нашей современной учебной модели используем целые числа от 1 до 3999 без надчёркиваний. Ноль, отрицательные числа и дроби этой моделью не записываем.

У римских символов нет последовательности позиционных весов 1, 10, 100. X означает десять и в XI, и в IX. Но порядок символов важен: XI = 10+1 = 11, а IX = 10−1 = 9. Непозиционная система не означает, что символы можно переставлять произвольно.

Шесть пар для вычитания

В выбранной модели разрешены именно эти пары:

Нельзя вычитать любую меньшую цифру из любой большей. Например, 49 записывают XLIX: 40 + 9. Пара IL в этой модели не разрешена.

Для обычной формы разбивай число на тысячи, сотни, десятки и единицы и записывай блоки в таком порядке. Символы I, X, C, M не повторяют более трёх раз подряд, V, L, D не повторяют. Пример: 24 = 20+4 → XX + IV → XXIV. Исторические записи и оформление часов могут отличаться: IIII на циферблате не отменяет выбранную учебную памятку.

Это современная учебная иллюстрация, а не фотография исторического предмета. Точная таблица символов дана выше.

Практика P1

По таблице римских символов и разрешённых пар заполни четыре строки: XIV → десятичная запись; XL → десятичная запись; 38 → римская запись; 49 → римская запись. Затем объясни, почему XL и LX обозначают разные числа, хотя значения X и L фиксированы.

1. Работай лично три минуты. Памятку можно использовать.
2. Сверь записи с партнёром: каждый объясняет хотя бы одну строку.
3. Если мнения расходятся, проверь символы и пары, затем исправь собственную запись. Готовый ответ без объяснения не заменяет проверку.

Проверяем ответ ИИ

Вымышленный помощник ИИ написал: «99 записывается IC: любую меньшую римскую цифру перед большей надо вычесть». Проверь утверждение по памятке. Исправь запись 99 и сформулируй ограничение правила.

Это вымышленный ответ для анализа. Не нужно обращаться к настоящему сервису. Запиши: ошибочная пара → правило проверки → исправление. Арифметическое равенство 100−1=99 само по себе не делает IC допустимой записью.

Новый случай R1

На табличках указаны «Глава IX» и «Глава XI». На другой карточке записано десятичное число 909. Почему перестановка I и X меняет римское число, но не превращает римскую систему в позиционную? Какой вклад вносит каждая цифра 9 в числе 909?

Если трудно, отдельно подпиши значения римских символов и веса десятичных разрядов. Сравни механизмы, а не только готовые числа.

D1 — резерв после основного. Резерв. На некоторых циферблатах 4 обозначают IIII. Ученик решил: «Значит, в нашей памятке можно писать 49 как IL». Проверь вывод. Что нужно уточнить перед оценкой необычной записи?

Индивидуальный итог

Три минуты самостоятельно. Использовать памятку римских знаков и пар можно. Разбор открой только после своей попытки.

E1. Запиши десятичное число 404 как сумму разрядных слагаемых и укажи вклад левой цифры 4.

E2. Для системы с основанием 4 разрешены цифры 0, 1, 2, 3. Допустима ли запись 143₄? Почему?

E3. Прочитай римское число XXXIV и укажи, какая разрешённая пара в нём использована.

Разбор после попытки

Показать ответ после выполнения

Найди конкретное расхождение со своей записью. При ошибке в разряде снова подпиши веса; при ошибке в римской форме выдели блоки и сверь пару с памяткой. Затем реши новый пример в самопроверке.

Материалы и самостоятельная проверка

В карточках доступны презентация «Сигнал», самостоятельный план учителя, рабочий лист, отдельный выходной билет и бумажная самопроверка. Каждый документ можно открыть и скачать отдельно.

Нативная самопроверка содержит шесть вопросов, объяснения ко всем вариантам и шесть новых случаев переноса. Шесть выборов с чтением обратной связи занимают примерно 5–7 минут. После ошибки выполни новый случай к этому вопросу; все шесть письменных переносов потребуют ещё примерно 5–7 минут. Это отдельная работа после урока; не прибавляй её к основным 45 минутам.

• Рабочий лист для печати
• Выходной билет: два на А4
• Самопроверка на бумаге

Домашний перенос

Домой, 5–7 минут. 1) Разверни десятичную запись 606 и объясни роль нуля. 2) По памятке запиши 27 и 2026 римскими цифрами. 3) Придумай собственный пример с одной и той же цифрой в двух десятичных разрядах и подпиши её вклады. Интернет не нужен.

Источники

Урок соотнесён с разделом «Системы счисления» федеральной рабочей программы базового курса и рекомендациями на 2026/27 учебный год. Работа с ИИ встроена в проверку правила и доказательство, без дополнительного учебного часа.

• Федеральная рабочая программа: информатика, 7–9 классы, базовый уровень
• Методические рекомендации по информатике на 2026/27 год
• Julie Harland: Numbers and Numerals — определения и римская запись
• NRICH, University of Cambridge: обсуждение способов представления количества