Двоичная система счисления. Перевод целых чисел от 0 до 1024

Научимся переводить целые числа от 0 до 1024 включительно из двоичной системы в десятичную и обратно. Освоим выбор весов и последовательное деление, а каждый результат будем проверять. Достаточно бумаги, ручки и памятки ниже.

Безопасное начало

Организуй рабочее место по правилам кабинета: сухие руки, напитки и лишние вещи убраны, провода и разъёмы не трогай. О неполадке сообщи учителю. В середине урока предусмотрены две минуты без проекции и заданий. На этом уроке компьютер и внешний ИИ для вычислений не требуются.

Основание 2 и два знака

Двоичная система — позиционная система с основанием 2 и алфавитом 0, 1. Каждое место получает одну из этих двух цифр. Цифра 2 в двоичную запись не входит.

Маленький индекс обозначает основание. Например, 10₂ — двоичная запись, а 10₁₀ — десятичная. Это записи разных чисел: 10₂ = 1×2 + 0×1 = 2₁₀. Само число при корректном переводе в другую систему сохраняется, меняются цифры его записи.

S0. Сравни записи 10₂ и 10₁₀. Обозначают ли они одно число? Назови значение каждой и объясни, зачем нужен индекс основания.

Памятка весов

У крайней правой цифры вес 1 = 2⁰. При движении влево каждый следующий вес в два раза больше:

Для длинных записей слева добавляются веса 64, 128, 256, 512, 1024. Если строишь ряд справа налево, начинай с 1 и удваивай. Если записываешь готовую таблицу слева направо, веса идут по убыванию.

В этой теме работаем с обычными неотрицательными целыми числами. Знакового разряда и фиксированной машинной длины здесь нет. Без начальных нулей запись положительного числа начинается с 1.

Это концептуальная иллюстрация. Точные веса заданы текстом и таблицей; высоты предметов не служат масштабной моделью степеней двойки.

Из двоичной системы в десятичную

Возьмём 10110₂. Подпишем веса справа налево, затем умножим каждую цифру на её вес:

10110₂ = 1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1 = 22₁₀.

Можно складывать только веса под единицами: 16+4+2. Складывать сами цифры вместо их вкладов нельзя: у единиц в разных местах разные веса.

C1. Найди десятичные значения 100101₂ и 000101₂. Запиши суммы весов под единицами. Изменится ли значение 000101₂, если убрать только начальные нули? Почему?

Подсказка: подпиши под шестью местами веса 32, 16, 8, 4, 2, 1. Нули в начале целого числа не меняют веса остальных цифр. Внутренний ноль удерживает место: 101₂ = 5, а 11₂ = 3.

Из десятичной: выбор весов

Переведём 26₁₀. Рассматриваем веса по убыванию:

1. Вес 16 помещается в 26: пишем 1, остаётся 10.
2. Вес 8 помещается в 10: пишем 1, остаётся 2.
3. Вес 4 не помещается: пишем 0, остаток по-прежнему 2.
4. Вес 2 помещается: пишем 1, остаётся 0.
5. Доходим до веса 1: пишем 0.

Получили цифры по всем местам:

26₁₀ = 11010₂. Проверка: 16+8+2 = 26.

Каждый вес используем не более одного раза. Пропущенный вес получает цифру 0. Даже когда остаток стал нулём, места справа сохраняются до веса 1.

A1. Переведи 19₁₀ в двоичную систему выбором весов. Каждый из весов 16, 8, 4, 2, 1 можно выбрать не более одного раза. Запиши цифру для каждого места и проверь ответ суммой выбранных весов.

Сначала выполни сам. Затем объясни партнёру хотя бы одно выбранное и одно пропущенное место. Полный разбор находится в закрытом блоке после заданий.

Пауза без экрана

В классе — две полные минуты без проекции и заданий. Отведи взгляд от экрана, расслабь кисти и плечи по указанию учителя. После паузы вернись к бумажному листу.

Второй способ: последовательное деление

Для положительного целого числа повторяем деление на 2 с целым частным:

n = 2q + r, где q — целое частное, r — остаток 0 или 1.

Запиши частное и остаток. В следующей строке дели полученное частное. Остановись, когда частное стало 0. Последний шаг с исходным 1 тоже записывай: 1 = 2×0 + 1.

Пример для 13₁₀:

Первый остаток относится к весу 1, следующий — к весу 2, затем 4 и 8. Поэтому цифры готовой записи читаем от последней строки к первой, снизу вверх: 1, 1, 0, 1.

13₁₀ = 1101₂. Проверка: 8+4+1 = 13.

Направление важно: остатки сверху вниз дали бы 1011₂ = 11₁₀. Начальные нули не устраняют такую ошибку порядка.

Иллюстрация показывает идею последовательных шагов. Все числа и порядок чтения задаются таблицей, а не изображением.

A2. Переведи 18₁₀ в двоичную систему последовательным делением на 2. Для каждого шага запиши число, целое частное и остаток. Остановись при частном 0, прочитай остатки снизу вверх и проверь ответ по весам.

Ноль и верхняя граница

Ноль записываем явно: 0₁₀ = 0₂. Правило повторного деления положительных чисел для него дополняем отдельным случаем. Пустая строка не заменяет запись числа. 0000₂ тоже обозначает ноль, хотя без начальных нулей достаточно одной цифры.

B1. Запиши 0₁₀ и 1024₁₀ в двоичной системе. Сколько цифр минимум нужно для записи 1024 без начальных нулей? Объясни по весам разрядов от 1 до 1024.

Для проверки границы учти: 1024 = 2¹⁰. Старшее место имеет вес 1024, но справа от него остаются все места с весами 512, 256, …, 2, 1. Значение показателя степени и количество цифр записи — разные величины. В десяти местах с весами до 512 максимум равен 1023: все десять цифр равны 1.

Проверяем ответ ИИ

AI1. Вымышленный помощник ИИ написал: «42₁₀ = 010101₂. При делении на 2 остатки читают сверху вниз». Проверь результат обратным вычислением. Исправь запись и направление чтения.

Ответ вымышленный. Не нужно регистрироваться в сервисе или передавать ему свои данные. Сначала вычисли значение предложенной двоичной записи, затем исправь совет. Уверенный тон не заменяет проверку.

D1 — резерв после основного. Резерв. В десяти двоичных разрядах можно составить 1024 разных набора нулей и единиц. Ученик решил, что среди них обязательно есть число 1024. Проверь вывод для неотрицательных целых без знакового разряда.

Индивидуальный итог

Четыре минуты лично. Памятка и разобранные примеры рабочего листа разрешены. Закрой готовые ответы на билет и блок разбора ниже. На бумаге для вычислений можно использовать чистый оборот билета; учитель во время итога не подсказывает.

E1. Переведи 11001₂ в десятичную систему. Покажи сумму весов под единицами.

E2. Переведи 20₁₀ в двоичную систему любым изученным способом. Проверь обратной суммой весов.

E3. Известно, что 512 = 2⁹. Сколько двоичных цифр минимум нужно для записи 512 без начальных нулей? Объясни.

Разбор после попытки

Показать ответ после выполнения

Если веса сдвинулись, снова подпиши их от правого края. Если результат после деления неверен, проверь каждое равенство n = 2q+r и направление чтения. После исправления реши новый пример из самопроверки, сохранив свой первоначальный ответ для сравнения.

Материалы и самопроверка

В карточках доступны презентация «Сигнал», полный план учителя, рабочий лист, отдельный выходной билет и бумажная самопроверка. DOCX открываются прямо на сайте и доступны для скачивания. Для печати ученических модулей есть PDF:

• Рабочий лист для печати.
• Выходной билет: два на А4.
• Самопроверка на бумаге.

Шесть выборов нативной самопроверки с чтением объяснений — ориентир 5–7 минут отдельно после урока. После ошибки выполни соответствующий новый пример. Все шесть письменных переносов потребуют ещё примерно 5–7 минут. На бумажную версию с шестью короткими основаниями и разбором — примерно 7–10 минут. Не прибавляй весь модуль к основным 45 минутам.

Домашний перенос

Домой, 5–7 минут. Переведи 52₁₀ в двоичную систему и 1001101₂ в десятичную. Один перевод проверь другим изученным способом. Покажи ход решения. Калькулятор и Интернет не нужны.

Если получился другой ответ, сначала проверь алфавит, веса, остатки и направление чтения. Значение должно совпасть с исходным числом.

Источники

Урок соответствует теме двоичных переводов базовой федеральной программы и сетке КТП на 2026/27. Проверка вымышленного ответа ИИ встроена в предметное вычисление.

• Федеральная рабочая программа: информатика, 7–9 классы, базовый уровень.
• Информационно-методическое письмо на 2026/2027 учебный год.
• CS Unplugged: Binary Numbers — связь выбранных весов и цифр.
• Harvard CS50: Binary — позиционные веса и чтение записи.