Цикл с условием. Алгоритм Евклида и цифры натурального числа

Выполнять и проверять Python-цикл while: алгоритм Евклида и выделение цифр натурального числа в позиционной системе с основанием от 2 до 10.

Python 3: while условие: проверяет условие перед каждой итерацией. При истине выполняется всё тело с отступом, затем новая проверка; при лжи тело пропускается и выполняется код после цикла. При нормальном завершении после k итераций было k+1 проверок. В этих программах нет break/continue. Алгоритм Евклида использует целые 0≤a,b≤1000, не оба нули. Если b!=0, остаток r=a%b, затем a=b и b=r. r вычисляется до перезаписи a. Пары(a,b) и(b,r) имеют одинаковые общие делители, а при b>0 остаток 0≤r<b; положительный второй компонент убывает, значит цикл завершится. При b=0 НОД равен a. Для выделения цифр основные n натуральные 1…1000000, основание b — целое 2…10. Во вводе n записано привычными десятичными цифрами: это значение числа, а не строка в основании b. d=n%b выделяет последнюю цифру записи в основании b, n//b удаляет её; при b=10 получаем прежние операции %10 и //10; при n>0 новое целое меньше прежнего. Сумма накапливается в s с начального 0. Числовая запись не хранит ведущие нули. Отдельный B1 расширяет подсчёт цифр на число 0: у десятичной записи 0 одна цифра, хотя while n>0 не исполняется. Проверка технического лимита не является доказательством бесконечности. Выделенные цифры получаются от младшей к старшей; для обычной записи их читают в обратном порядке. Значения 0…b−1 при b≤10 записываются обычными цифрами. В этой практике n>0; число 0 отдельно рассматривается вB1.

Для работы достаточно бумаги, ручки и памятки. Сохраняй первую попытку; исправления отмечай другим знаком.

Безопасное начало

Сухие руки, без напитков у техники. Провода и разъёмы не трогай, о неисправности сообщи учителю. Работай по правилам кабинета. Две полные минуты в середине урока — без экрана и заданий. Внешний ИИ, аккаунты и личные данные не требуются.

Что уже нужно знать

19: цикл с предусловием у исполнителя;23–27: Python 3, int(input()), присваивания по порядку, сравнения, // и %, проверка по строкам. Формулы НОД и обработки цифр даны в памятке.

S0. Чем цикл с предусловием отличается от команды «повторить ровно 5 раз»?

Устная проба без отметки.

Предусловие и убывающая величина

while проверяет условие перед каждым телом. Евклид: r=a%b; a=b; b=r. Цифры: значение n>0, основание b от 2 до 10; d=n%b, затем n=n//b. Цифры выходят справа налево; запись восстанавливают в обратном порядке. При n>0 и b≥2 целое n уменьшается. Для суммы s=s+d до удаления цифры.

Во вводе n — значение, записанное десятичными цифрами; b — отдельная строка 2…10. Например, n=13,b=2 означает разобрать число 13, а не считать запись 13 двоичной. ВB1 подсчёт десятичных цифр для n≥0 остаётся отдельным случаем.

Концептуальная иллюстрация. Точные данные определены условиями, таблицами и схемами; предметы на рисунке не являются входными данными.

Личная проба

C1. Python 3: n=0; s=0; while n>0: s=s+1; затем print(s) после цикла. Тело состоит только из s=s+1. Сколько итераций, проверок и что напечатается?

Одна минута лично, затем две на разбор. Памятка разрешена.

Алгоритм Евклида

Другой пример: a=15,b=6. После первого тела пара(6,3), после второго(3,0). Следующая проверка ложна, НОД 3. Остаток вычисляют до перезаписи пары. В A1 составь собственную таблицу на других входах.

A1. Евклид: код ниже; входы 48 затем 18 и отдельно 7 затем 0 (две строки). До запуска запиши пары (a,b) после тел и вывод. Для 7/0 укажи, вычислялся ли %. Первый случай проверь на ПК, второй вручную.

a=int(input())
b=int(input())
while b!=0:
    r=a%b
    a=b
    b=r
print(a)

Заготовка для своей записи:

Сначала своя запись и основание, затем сверка.

Полная пауза

Две минуты без проекции, чтения, вычислений и обсуждения. Отведи взгляд и смени позу.

Выделяем цифры в основании b

Другой пример n=7,b=2. Остатки d по шагам 1,1,1, новые n3,1,0, суммы s1,2,3. Цифры выделены справа налево, обычная запись 111₂; 4+2+1=7. При b=10 те же действия дают десятичные цифры. ВA2 другие входы: сначала собственная трасса, затем запуск.

A2. Две строки ввода: значение n (натуральное 1…1000000, ввод десятичными цифрами), затем основание b (2…10). Составь Python 3: s=0; пока n>0, выделить d=n%b, прибавить d к s, удалить цифру n=n//b; после цикла вывести s. До проверки запиши в тетради код и полные трассы (n,d,s) для 205/10 и 13/2. В таблице листа запиши только цифры справа налево, обычную запись и сумму; проверь запись по весам. Один случай запусти, второй можно проверить вручную.

Заготовка для своей записи:

Семь минут: три на свои трассы, три на исправление/проверку, одна на сверку. В коротком варианте — шесть минут.

Концептуальная иллюстрация. Точные данные определены условиями, таблицами и схемами; предметы на рисунке не являются входными данными.

Ноль и смысл счётчика

Для натурального n8 цикл удаления цифр выполняется один раз, для n80 два раза. Но для числа 0 условие n>0 сразу ложно. Если задачей является число цифр записи, а не число исполнений тела, нужно отдельно определить результат для 0. Проверку нуля делай до изменения исходного n.

B1. Подсчёт цифр расширили на целые n≥0. Алгоритм:k=0; пока n>0, выполнить k=k+1 и n=n//10; после цикла вывести k. Для входа 0 сравни факт с числом цифр десятичной записи 0. Исправь начальное значение k до цикла с помощью if/else и проверь также 7 и 10.

Три минуты на свою попытку, затем одна минута на сверку основания. Допустимы разные корректные решения.

Проверка вымышленного ответа ИИ

AI1. Вымышленный ИИ предлагает тело Евклида a=b; b=a%b и уверяет, что порядок не важен. Исходные a=14,b=8. Проверь первую итерацию и итог этого ошибочного цикла while b!=0; сравни с НОД 14 и 8. Исправь тело с временным r и повтори вход.

Это заранее составленный учебный пример. Самостоятельно проверь конкретный шаг; обращение к сервису не требуется.

Помощь и резерв

• Теряет старое a. Сначала вычисли r, потом перезаписывай a.
• Не уменьшает n. В A2 уменьши n командой n=n//b; в десятичном B1 используют n=n//10.
• Путает%и//. Подпиши извлечение и удаление цифры.
• Считает 0 числом без цифр. Различи число итераций и запись нуля.

D1. Резерв. Пусть целые a=q*b+r и b>0. Объясни двумя направлениями, почему общий делитель a,b делит b,r, а общий делитель b,r делит a,b. Как это помогает алгоритму Евклида?

D1 — 3–4 минуты для быстро справившихся после основной работы; иначе отдельный резерв следующего занятия. H1, весь тест и шесть новых случаев не складываются в одно обязательное домашнее задание.

Индивидуальный итог

Четыре полные минуты лично. Условия заранее на бумаге. Памятка и разобранные модели разрешены; ключи и веб-разбор закрыты. Учитель не даёт учебных подсказок. Сбор после четырёх минут.

E1. В алгоритме Евклида while b!=0 тело вычисляет a%b. Если исходно a=11,b=0, будет ли деление на 0 и что выведет print(a) после цикла?

E2. Одна итерация Евклида: исходно a=14,b=8; r=a%b; a=b; b=r. Каковы r и новая пара(a,b)?

E3. Натуральное n>0 заменяют на n//b при целом b от 2 до 10. Почему это помогает циклу while n>0 завершиться?

Разбор после своей попытки

Показать ответ после выполнения

После исправления выбери один новый пример из самопроверки.

Материалы и самопроверка

Презентация, самостоятельный план учителя, рабочий лист, выходной билет и бумажная самопроверка открываются отдельными карточками. DOCX можно смотреть на сайте и скачать. PDF для печати:

• Рабочий лист
• Выходной билет — два на А4
• Самопроверка на бумаге

Самопроверка на сайте: шесть вопросов с пояснениями, отдельно 5–7 минут. Бумажная версия с письменными основаниями и разбором — 8–12 минут. Все шесть новых письменных случаев — ещё 8–10 минут; выбирай прежде всего случай к своей ошибке. Эти модули не прибавляют к основным 45 минутам и не задаются целиком вместе с H1 автоматически. Пояснения и новые случаи для бумажного разбора есть в плане учителя.

Домашний перенос

H1. Домой 5–7 минут,ПКнеобязателен. 1) Евклид для 21 и 14: выпиши пары после тел и НОД. 2) Для n=34,b=5 выделяй d=n%b, затем n=n//b; выпиши цифры справа налево, восстанови запись в основании 5 и найди сумму цифр. Проверь запись по весам.

Полное условие и памятка есть на листе. Решение запиши в тетради. Достаточно 5–7 минут с сохранённой опорой.

Источники

ФРП базового уровня: содержание 8 класса, печатные с.9–10; тематическое планирование, с.35–37. Выделение цифр натурального числа в позиционной системе с основанием от 2 до 10. Python 3 — один из допускаемых ФРП языков. Часы и ссылки КТП сохранены. Учебник школы не указан; номера параграфов не назначены.

• Федеральная рабочая программа информатики 7–9 классов, базовый уровень
• Информационно-методическое письмо по информатике на 2026/2027 год
• Python: while с проверкой перед телом
• Python: числа, текст и присваивание
• Python: input, int и print