Математическая модель. Величины, связи и ограничения

Перевести короткое словесное условие в математическую модель: указать цель, величины и единицы, зависимость, допустимые значения и предположения; самостоятельно проверить обычный и граничный случаи и объяснить пределы применимости.

Все мастерские, материалы и числа вымышленные; работа выполняется на бумаге, реальную ленту не режем. Количество целых изделий n — целое неотрицательное число. Подготовка одной учебной партии учитывается ровно один раз даже при n=0: это явно заданное условие наших примеров. Формула расхода может вычислить превышение запаса, но такой кандидат не становится допустимым планом. Расчёт по предположениям не равен физическому измерению.

Для работы достаточно бумаги, ручки и памятки. Сохраняй первую попытку; исправления отмечай другим знаком.

Безопасное начало

Сухие руки, без напитков у техники. Провода и разъёмы не трогай, о неисправности сообщи учителю. Работай по правилам кабинета. Две полные минуты в середине урока — без экрана и заданий. Внешний ИИ, личные аккаунты и личные данные не требуются.

Что уже нужно знать

Назначение модели из 007, таблицы и связи из 008–011; подстановка в выражение, сложение и умножение. Программирование, измерение реальных предметов и массивы не требуются.

S0. Для учебной мастерской можно сделать маленький картонный макет, написать рассказ о работе или записать зависимость расхода R=5+2n с обозначением величин. Какое описание прямо позволяет рассчитать расход по числу изделий? Для какого другого вопроса мог бы пригодиться макет?

Устная проба без отметки.

Формула работает вместе с условиями

Математическая модель описывает существенные для цели величины и связи математическими средствами. Укажи, что хотим получить, что подаём на вход, что считаем результатом и в каких единицах. Раздели изменяемый вход и постоянные параметры. Для наших партий общий расход R(n)=a+bn: a — расход подготовки в сантиметрах, b — сантиметры на одно изделие, n — число целых изделий. Подготовка учитывается один раз даже при n=0 по явному условию. Допустимый план требует целого n≥0 и R(n)≤L, где L — запас в тех же единицах. Вычисление для кандидата сверх запаса полезно для отказа, но не разрешает изготовление. Проверь обычный вход, нуль, точную границу и ближайший превышающий кандидат. Дробный/отрицательный вход для количества целых изделий отклоняют по смыслу. Контрольные случаи помогают найти ошибку, но не доказывают универсальную точность. Модель пригодна только при своих предположениях, например одинаковом расходе и одной подготовке. Картонный макет показывает форму, словесное описание объясняет ситуацию, математическая связь отвечает на численный вопрос; выбор зависит от цели.

Все данные учебные. Расходы измерены в сантиметрах, время — в минутах по конкретному условию; единицы разных моделей не смешивают. Реальных измерений и работы с материалами нет. Тест кандидата за пределом служит обнаружению недопустимого плана.

Концептуальная иллюстрация. Точные данные определены условиями, таблицами и схемами; предметы на рисунке не являются входными данными.

Личная проба

C1. В вымышленной партии подготовка расходует 8 см ленты один раз, затем на каждый целый значок по 3 см. Подготовка учитывается и при нулевой партии. Обозначим количество значков n, общий расход R. Укажи единицы n и R, смысл постоянных 8 и 3. Рассчитай расход для двух значков.

Две минуты лично, затем две на проверку величин и одноразовой подготовки. Памятка разрешена.

Отделить подготовку от расхода на изделие

Разобранный пример на других числах: одна подготовка требует 7 см, каждое изделие 2 см, включая учёт подготовки при n=0. Связь R(n)=7+2n см. Для n=3 получаем 13 см; для n=0 — 7 см. Параметр 7 не умножается на n. Формула 2(7+n) дала бы 14 см подготовки, это другое условие.

A1. Для другой учебной партии время подготовки 6 минут, затем по 2 минуты на каждую целую этикетку; подготовку учитывают один раз даже при n=0. Запиши формулу общего времени T(n), где n — целое неотрицательное количество этикеток. Проверь n=0 и n=4 с единицами. ИИ предложил T=2×(6+n): соответствует ли она условию?

Сначала своя запись и основание, затем сверка.

Полная пауза

Две минуты без проекции, чтения, вычислений и обсуждения. Отведи взгляд и смени позу.

Расчёт кандидата и допустимость плана

Другой пример: R(n)=4+3n см, запас 19 см, n целое неотрицательное. n=5 даёт 19 см и подходит; n=6 даёт 22 см и не подходит. При n=0 расход 4 см. Значение n=1,5 может подставляться в выражение арифметически, но не является планом целых изделий. Подготовка и запас — отдельные части модели.

A2. Учебная модель R(n)=10+5n см, где n — целое неотрицательное число меток, запас 40 см. Подготовка 10 см учтена один раз, в том числе при n=0. Проверь планы n=0 и n=6, затем кандидат n=7: вычисли расход и отметь допустимость по запасу. Можно ли использовать n=−1 или n=2,5 для количества целых меток? Почему вычисленное число само по себе не разрешает план?

Три минуты личные расчёты, две на сверку границы и недопустимых входов.

Концептуальная иллюстрация. Точные данные определены условиями, таблицами и схемами; предметы на рисунке не являются входными данными.

Построить свою модель и проверить предел

Сначала выпиши цель и все величины с единицами. Соедини фиксированную подготовку и повторяемый расход, не перепутай их. Подпиши область целого количества и сравнение с запасом. Заполняй таблицу по своей формуле: нуль, обычный план, точная граница, следующий кандидат. Для максимального целого проверь допустимый и следующий недопустимый план; назови постоянное положительное увеличение расхода. Затем укажи, какое предположение позволяет применять эту связь и когда его надо пересмотреть.

B1. Составь собственную модель учебной партии меток. На подготовку один раз 12 см ленты, включая нулевую партию, на каждую целую метку 4 см; запас 60 см. Цель — проверить, хватает ли запаса для плана n. Запиши вход, выход и единицы, постоянные величины, формулу R(n), условия допустимости. Сам заполни контрольную таблицу для n=0,3,12,13: расход и допустимость. Назови наибольшее допустимое целое n, объясни границу двумя соседними планами. Укажи одно предположение и пример изменения условий, когда модель надо уточнить. Сначала собственная запись, потом исправления другим знаком.

Заготовка для своей записи:

Восемь минут: 1 инструкция, 5 собственная модель и таблица, 1 цель/предположение, 1 сверка. Свои вычисления до ответа.

Проверка вымышленного ответа ИИ

AI1. Вымышленный ИИ советует для B1: «Можно взять n=2,5, раз формула выдаёт число 22 см. А правильная формула гарантирует точно такой же реальный расход при любых метках». Найди две ошибки по смыслу величин и предположениям модели.

Это заранее составленный учебный пример. Самостоятельно проверь конкретный шаг; обращение к сервису не требуется.

Помощь и резерв

• Умножает подготовку на количество. Отдели расход один раз от расхода на каждое изделие.
• Смешивает единицы. Подпиши вход, выход и каждый параметр.
• Считает любой вычисленный план допустимым. Отдельно проверь целое n≥0 и запас.
• Объявляет расчёт реальным измерением. Назови предположение, которое может измениться.

D1. Резерв. В B1 расход на одну метку стал 5 см, подготовка остаётся 12 см, запас 60 см. Уточни формулу и найди наибольшее допустимое целое количество. Проверь два соседних кандидата.

D1 — необязательный резерв на 3–4 минуты после основных попыток. При нехватке времени перенести. H1 и весь тест автоматически вместе не назначаются.

Индивидуальный итог

Четыре полные минуты лично. Условия заранее на бумаге. Памятка и разобранные модели разрешены; ключи и веб-разбор закрыты. Учитель не даёт учебных подсказок. Сбор после четырёх минут.

E1. На подготовку партии один раз 3 см, на каждое целое изделие 2 см; подготовка учтена и при нуле. Запиши формулу общего расхода R(n) и вычисли для n=4 с единицами.

E2. По модели R(n)=6+3n см запас равен 24 см, n — целое неотрицательное количество изделий. Проверь n=6 и n=7: расход и допустимость.

E3. Нужно рассчитать расход по количеству изделий. Есть картонный макет и формула R(n)=6+3n см с обозначениями и ограничениями. Какое описание прямо отвечает численному вопросу? Назови изменение условий, при котором эту формулу следует уточнить.

Разбор после своей попытки

Показать ответ после выполнения

После исправления выбери один новый пример из самопроверки.

Материалы и самопроверка

Презентация, самостоятельный план учителя, рабочий лист, выходной билет и бумажная самопроверка открываются отдельными карточками. DOCX можно смотреть на сайте и скачать. PDF для печати:

• Рабочий лист
• Выходной билет — два на А4
• Самопроверка на бумаге

Самопроверка на сайте: шесть вопросов с пояснениями, отдельно 6–8 минут. Бумажная версия с письменными основаниями и разбором — 8–12 минут. Все шесть новых письменных случаев — ещё 8–10 минут; выбирай прежде всего случай к своей ошибке. Эти модули не прибавляют к основным 45 минутам и не задаются целиком вместе с H1 автоматически. Пояснения и новые случаи для бумажного разбора есть в плане учителя.

Домашний перенос

H1. Дома 5–7 минут на бумаге. Для учебной партии подготовка один раз 5 см, на целый элемент 7 см; запас 40 см. Подготовка учтена и при нулевой партии. Запиши величины/единицы, формулу расхода и ограничения. Проверь n=0,2,5,6; найди наибольший допустимый план и назови одно предположение.

Полное условие и памятка есть на листе. Решение запиши в тетради. Достаточно 5–7 минут с сохранённой опорой.

Источники

ФРП информатики 7–9 классов, базовый уровень: содержание 9 класса, раздел 2 «Теоретические основы информатики», моделирование, печатные с. 40–41: понятие математической модели, задачи моделирования и отличие от натурного/словесного описания. Здесь час 012 авторского КТП 2026/2027; программная реализация и компьютерный эксперимент идут на 013. Учебник школы не указан; номера параграфов не назначены.

• Федеральная рабочая программа информатики 7–9 классов, базовый уровень
• Информационно-методическое письмо по информатике на 2026/2027 год
• OpenStax College Algebra 2e 4.1 — линейная связь, единицы и область применения