Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа (без вывода)

Колба с воздухом стоит спокойно. Если соединить её с открытым жидкостным манометром, уровни в коленах часто на одной высоте. Это не нулевое давление. Такой прибор показывает избыток над атмосферой, а не само давление на стенку. Порядок атмосферного давления, около $10^5$ Па, уже известен из седьмого класса. Это не сегодняшнее измерение и не скорость молекул.

На этом занятии берём готовую связь давления идеального газа с частицами. Коэффициент в формуле не выводим: в базовой программе так и сказано. Температуру и уравнение состояния не пишем. Это следующие занятия.

Постановка, не измерение. Одинаковые уровни на рисунке — не ноль давления. Шкалы нет специально.

Что связывает формула

Давление $p$ в формуле — давление всей порции газа. Открытый манометр показывает только избыток над атмосферой, не само это $p$. У одной молекулы давления нет: у неё есть масса и скорость.

В формулу входят масса одной молекулы $m_0$ и средний квадрат скорости $\langle v^2 \rangle$. Рядом стоит концентрация $n = N/V$: сколько молекул в одном кубическом метре.

Слева один удар. Справа много ударов. Давление создаёт порция, не одна частица. Шарики — модель, не фотография молекул.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

Единицы сходятся: кг/(м·с²) — это паскаль. Множитель $\frac{1}{3}$ безразмерный. Его сегодня не выводят.

Когда формула годится

Она написана для идеального газа. В этой модели собственным объёмом молекул пренебрегают, силы между молекулами учитывают только в момент удара, а удары молекул друг о друга и о стенки считают упругими.

Пустой объём нарисован нарочно. Это модель разреженного газа, не снимок воздуха и не измерение расстояния.

Воздух в комнате при обычных условиях часто близок к этой модели. Жидкость и твёрдое тело в формулу не подставляют. Рисунок шариков формулу не доказывает и скорость с него не снимают.

Та же формула через плотность

Плотность порции $\rho = m/V$ совпадает с произведением $n m_0$. Поэтому

$p = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$

Если известны давление и плотность,

$\langle v^2 \rangle = \frac{3p}{\rho}$

Средняя квадратичная скорость — корень из среднего квадрата. Это не средняя скорость:

$v_{\text{кв}} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$

Средний квадрат — не квадрат средней

Скорости молекул разные. Сначала возводят в квадрат каждую, потом усредняют. Нельзя сначала усреднить скорость и только потом возвести в квадрат.

Учебные три числа, это не воздух: $1$, $2$ и $3$ м/с.

Средняя скорость равна $2$ м/с, её квадрат равен $4$ м²/с².

Средний квадрат $(1 + 4 + 9)/3 = 14/3$ м²/с².

$4$ и $14/3$ не равны. В формулу давления входит $\langle v^2 \rangle$, то есть $14/3$ в этом игрушечном наборе.

Длина карандашного следа показывает только идею «скорости разные». По следу скорость молекулы не измеряют.

Через энергию одной молекулы

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы:

$E_k = \frac{1}{2} m_0 \langle v^2 \rangle$

Тогда то же уравнение записывают так:

$p = \frac{2}{3} n E_k$

$E_k$ здесь — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы. Слово «средняя» нужно, потому что скорости разные. Это не внутренняя энергия всего газа и не энергия колебаний или вращения.

Пример

Дано: $\rho = 1{,}50$ кг/м³, $p = 1{,}25 \times 10^5$ Па. Найти $\langle v^2 \rangle$ и $v_{\text{кв}}$.

$\langle v^2 \rangle = \frac{3 \times 1{,}25 \times 10^5}{1{,}50} = 2{,}50 \times 10^5 \text{ м}^2/\text{с}^2$

$v_{\text{кв}} = \sqrt{2{,}50 \times 10^5} = 500 \text{ м/с}$

Проверка: $\frac{1}{3} \times 1{,}50 \times 2{,}50 \times 10^5 = 1{,}25 \times 10^5$ Па. Сошлось.

Манометр скорости не показывает. $500$ м/с — результат формулы, не деление на шкале.

Коэффициент не выводим

На базовом уровне $\frac{1}{3}$ берут готовым. Вывод через изменение импульса при ударе о стенку в это занятие не входит.

Фраза «только треть молекул летит на стенку» неверна. Молекулы летят во все стороны. Коэффициент — часть готовой формулы, а не доля молекул.

Следы разного направления — модель, не оси и не доказательство коэффициента. По длине следа скорость не измеряют.

Частые ошибки

Дома

Письменно, без телефона. Опыт не нужен. Ответ открой только после своей записи, вместе с самопроверкой.

$\rho = 0{,}80$ кг/м³, $p = 9{,}60 \times 10^4$ Па. Найди $\langle v^2 \rangle$ и $v_{\text{кв}}$. Одной фразой напиши, какую величину из уравнения закрытая бутылка с воздухом сама не показывает. Бутылку не греют и не сдавливают.

Бутылка только напоминает: газ внутри давит на стенки. Греть её не надо.

Проверь себя

Сначала запиши ответы. Числа в пункте 2 другие, не те, что уже разобраны выше. Разбор открой после своей попытки.

1. Запиши основное уравнение через $n$, $m_0$ и $\langle v^2 \rangle$. Назови единицу каждой величины.
2. Для учебных чисел $2$, $4$ и $6$ м/с найди квадрат средней скорости и средний квадрат. Что из них входит в формулу давления?
3. $n = 2{,}00 \times 10^{25}$ м$^{-3}$, $m_0 = 5{,}00 \times 10^{-26}$ кг, $\langle v^2 \rangle = 3{,}00 \times 10^5$ м²/с². Найди $p$ и $E_k$.
4. Концентрацию увеличили в $2$ раза, средний квадрат скорости уменьшили в $2$ раза, $m_0$ не меняли. Что стало с давлением?
5. Почему закрытую бутылку с воздухом не нагревают, чтобы «увидеть уравнение»?

Показать ответ после выполнения

Коротко

• Основное уравнение идеального газа: $p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$. Его не выводят.
• Та же связь: $p = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$ и $p = \frac{2}{3} n E_k$.
• $\langle v^2 \rangle$ — средний квадрат скорости. $v_{\text{кв}} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$ — не средняя скорость.
• $E_k$ — средняя поступательная энергия одной молекулы, не внутренняя энергия газа.
• Формула для идеального газа. Рисунок шариков — модель. Температуру в неё не подставляют.