Температура — мера средней кинетической энергии теплового движения частиц вещества

Два стакана воды стоят рядом. В один капнули чернила, и облако почти стоит на дне. В другом такие же чернила уже пошли вверх мутным столбом. Вода во втором стакане теплее.

Температура здесь не «на ощупь» и не энергия одной случайной частицы. Она говорит, какова средняя кинетическая энергия хаотического поступательного движения частиц.

Капля чернил в более тёплой воде расходится быстрее. Это наблюдение, не измерение энергии в джоулях.

Что именно усредняют

Частицы вещества движутся хаотически. У одной частицы в данный миг энергия может быть больше, у другой меньше. Температура связана со средним по многим частицам, а не с рекордом одной.

Для идеального газа берут поступательное движение: частица летит и ударяется, но в этой модели её не «крутят» и не держат пружины соседей. Средняя кинетическая энергия такого движения:

$$\overline{E}_k = \frac{m_0 \overline{v^2}}{2}$$

$m_0$ — масса одной частицы в килограммах. $\overline{v^2}$ — средний квадрат скорости, не квадрат скорости одной выбранной частицы.

Одна быстрая бусина не задаёт «температуру» лотка. Модель, не фотография молекул.

Формула, которая связывает температуру и энергию

Абсолютная температура уже известна: $T = t + 273$. В формулу подставляют кельвины.

$$\overline{E}_k = \frac{3}{2} k T$$

Постоянная Больцмана:

$$k = 1{,}38 \times 10^{-23}\ \text{Дж/К}$$

Её можно получить из уже известных чисел: $k = R / N_A$, где $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К) и $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$ моль⁻¹. Школьное округление то же, $1{,}38 \times 10^{-23}$ Дж/К.

Откуда множитель $3/2$. Основное уравнение МКТ, $p = \dfrac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$, переписывается так:

$$p = \frac{2}{3} n \overline{E}_k$$

У разреженного газа, близкого к идеальному, в тепловом равновесии отношение $p/n$ одно и то же для разных газов и зависит только от степени нагретости. Этим отношением и задают абсолютную шкалу:

$$p = n k T$$

Сравнивая две записи давления, получают $\overline{E}_k = \dfrac{3}{2} k T$. Задачи на давление и на $pV = \nu RT$ — следующее занятие. Сегодня считают энергию и скорость.

При одной и той же температуре средняя кинетическая энергия поступательного движения одинакова у частиц разных газов. От массы частицы она не зависит.

Модель одной температуры: средняя энергия одна, следы у лёгких частиц длиннее. Это не измерение скорости.

Средняя квадратичная скорость

Из $\overline{E}_k = \dfrac{3}{2} k T$ и $\overline{E}_k = \dfrac{m_0 \overline{v^2}}{2}$ следует

$$v = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3 k T}{m_0}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}}$$

$v$ здесь — корень из среднего квадрата скорости. Её называют средней квадратичной скоростью. Это не скорость наугад выбранной молекулы: скорости разбросаны, а формула даёт одну характерную величину. $M$ — молярная масса в кг/моль.

Пример. Кислород при $t = 27\ ^\circ\text{C}$. Тогда $T = 300$ К, $M = 0{,}032$ кг/моль.

$$v = \sqrt{\frac{3 \times 8{,}31 \times 300}{0{,}032}} = \sqrt{233\,719} \approx 483\ \text{м/с}$$

Гелий в той же комнате: $M = 0{,}004$ кг/моль. Энергии равны, а скорости относятся как корень из обратного отношения масс:

$$\frac{v(\text{He})}{v(\text{O}_2)} = \sqrt{\frac{32}{4}} = \sqrt{8} \approx 2{,}83$$

У гелия около $1370$ м/с. Легче — быстрее, не «энергичнее».

Как считать энергию

Сначала кельвины, потом формула. При $t = 20\ ^\circ\text{C}$

$$T = 293\ \text{К}, \qquad \overline{E}_k = \frac{3}{2} \times 1{,}38 \times 10^{-23} \times 293 = 6{,}07 \times 10^{-21}\ \text{Дж}$$

При $0\ ^\circ\text{C}$ температура не ноль: $T = 273$ К и $\overline{E}_k = 5{,}65 \times 10^{-21}$ Дж. Подставлять в формулу число $20$ или $0$ со шкалы Цельсия нельзя.

Если средняя энергия выросла вдвое, вдвое выросла абсолютная температура, а не показание Цельсия. Было $24\ ^\circ\text{C}$, то есть $297$ К. Стало $594$ К. Прирост $297$ К, и по Цельсию это тоже $297$ градусов. Ответ $48\ ^\circ\text{C}$ — ловушка: нуль Цельсия не есть нуль энергии.

Где формула кончается

При $T = 0$ К формула даёт $\overline{E}_k = 0$ и $v = 0$. Так устроена классическая модель идеального газа. Этот нуль в кабинете не получают, и рисунок покоя — не фотография абсолютного нуля.

Модель границы: при абсолютном нуле классическая формула даёт нулевую среднюю энергию поступательного движения.

В твёрдом теле частицы ещё колеблются около мест и тянут соседей. Сегодняшняя формула этого не описывает. Она про поступательное движение частиц идеального газа. Внутренняя энергия тела — отдельная тема, её сегодня не считают.

Слева модель твёрдого тела, справа — газа. Форма $\dfrac{3}{2} kT$ относится к поступательному движению в газе.

Закрытая колба на солнце нагревается: средняя энергия частиц воздуха растёт, удары о стенку становятся сильнее. Считать новое давление будем на следующем занятии. Саму закрытую колбу на горелке не греют: стекло может лопнуть.

Частые ошибки

Проверь себя

Сначала запиши ответы. Разбор ниже закрыт, пока сам не попробуешь.

1. Почему при $t = 0\ ^\circ\text{C}$ средняя энергия поступательного движения не равна нулю?
2. Найди $\overline{E}_k$ при $t = 7\ ^\circ\text{C}$. Возьми $k = 1{,}38 \times 10^{-23}$ Дж/К.
3. Воздух был при $10\ ^\circ\text{C}$, средняя энергия его молекул выросла в $2$ раза. На сколько градусов выросла температура?
4. Азот и гелий в одной комнате. Сравни их $\overline{E}_k$. Во сколько раз средняя квадратичная скорость гелия больше? $M(\text{N}_2) = 0{,}028$ кг/моль, $M(\text{He}) = 0{,}004$ кг/моль.
5. Водород и кислород при одной температуре. Во сколько раз средняя квадратичная скорость водорода больше? $M(\text{H}_2) = 0{,}002$ кг/моль, $M(\text{O}_2) = 0{,}032$ кг/моль.
6. Почему формулу $\dfrac{3}{2} kT$ не переносят на всю энергию куска металла?

Показать ответ после выполнения

Коротко

• Температура измеряет среднюю кинетическую энергию хаотического поступательного движения, не энергию одной частицы и не всю энергию тела.
• $\overline{E}_k = \dfrac{3}{2} k T$, где $T$ в кельвинах и $k = 1{,}38 \times 10^{-23}$ Дж/К.
• При одной температуре средние энергии разных газов равны, а средние квадратичные скорости нет: $v = \sqrt{3RT/M}$.
• При $0\ ^\circ\text{C}$ энергия не ноль. При $0$ К ноль даёт только классическая модель.
• Уравнение состояния и внутренняя энергия — следующие занятия. Закрытый сосуд на огне не греют.