Уравнение состояния идеального газа

Закрытая колба стоит на столе. Внутри воздух. Его можно сжать, нагреть или выпустить часть. Пока порция одна и та же и газ близок к идеальному, давление, объём и температура не свободны по отдельности: они связаны.

Одно состояние воздуха. Числа со шкалы рисунка не снимают.

Состояние и процесс

Состояние порции газа задано макропараметрами. Для записи уравнения нужны давление $p$, объём $V$, абсолютная температура $T$ и количество вещества $\nu$ либо масса $m$ вместе с молярной массой $M$.

Процесс — это переход из одного состояния в другое. Сегодня выводим уравнение, которое связывает параметры состояния. Отдельные процессы, где один параметр держат постоянным, и давление смеси разных газов — следующие занятия.

Откуда берётся уравнение

На прошлых занятиях давление идеального газа связали с концентрацией молекул $n$ и абсолютной температурой:

$p = nkT$

$k = 1{,}38 \times 10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана. Это не универсальная газовая постоянная.

Концентрация — число молекул в единице объёма, $n = N/V$. Число молекул связано с количеством вещества: $N = \nu N_A$, где $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$ моль⁻¹.

Подставьте $n$ в $p = nkT$ и умножьте обе части на $V$:

$pV = \nu N_A k T$

Произведение двух постоянных в школьном округлении равно универсальной газовой постоянной:

$R = N_A k = 8{,}31\ \text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})$

Получается уравнение состояния идеального газа, уравнение Клапейрона — Менделеева:

$pV = \nu RT$

Модель идеального газа: частицы далеко друг от друга. Это не фотография молекул и не измерение.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории заново не выводим. Его в программе берут без вывода на другом занятии. Здесь только переход от $p = nkT$ к параметрам, которые читает прибор.

Что означает каждая буква

• $p$ — давление, паскаль (Па). Один паскаль — один ньютон на квадратный метр.
• $V$ — объём, который газ занимает, кубический метр (м³). Литры переводят: $1$ л $= 10^{-3}$ м³.
• $\nu$ — количество вещества, моль.
• $T$ — абсолютная температура, кельвин (К).
• $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К). Джоуль — это ньютон на метр, поэтому Дж/м³ = Н/м² = Па. Единицы в уравнении сходятся.
• $m$ — масса этой порции, килограмм.
• $M$ — молярная масса, килограмм на моль. Для кислорода $M = 0{,}032$ кг/моль, не $32$ кг/моль и не масса газа в колбе.

Если удобнее масса, подставляют $\nu = m/M$:

$pV = \frac{m}{M}RT$

Объём у порций разный. Молярная масса от размера колбы не зависит: это свойство газа.

Кельвин, не градус Цельсия

Связь шкал: $T = t + 273$. При $27$ °C в уравнение подставляют $300$ К, не $27$.

Рисунок не показывает число. Температуру читают с настоящего термометра и переводят в кельвины.

Как считают один пример

Дано: $\nu = 0{,}40$ моль воздуха, который считаем идеальным, $V = 10{,}0$ л, $t = 27$ °C. Найти $p$.

Сначала СИ. $V = 0{,}0100$ м³, $T = 300$ К.

$p = \frac{\nu RT}{V} = \frac{0{,}40 \times 8{,}31 \times 300}{0{,}0100} = 9{,}97 \times 10^{4}\ \text{Па}$

Это чуть ниже привычного атмосферного порядка $10^{5}$ Па. Так и должно быть: на один моль здесь пришлось бы $0{,}025$ м³, почти молярный объём при $300$ К и $10^{5}$ Па.

Два состояния одной и той же порции

Если массу и молярную массу не меняли, из $pV = \nu RT$ для двух состояний следует

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

Уравнение не спрашивает, каким путём газ перешёл. Оно перестаёт работать, если часть газа выпустили или впустили: $\nu$ уже другое. Пока не закрепляем один параметр и не называем отдельные газовые законы.

Куда уравнение не переносят

Оно написано для идеального газа: собственный объём молекул мал рядом с объёмом сосуда, а притяжение между ударами слабо. Вода в стакане и кусок металла сюда не входят. Не входит и газ, сжатый так сильно, что он близок к жидкости.

Плотная упаковка — модель жидкости или твёрдого тела. Для неё $pV = \nu RT$ не пишут.

Насос и камера велосипеда — бытовой пример порции воздуха, но по фотографии насоса давление не вычисляют: нет измеренных $p$, $V$ и $T$.

Частые ошибки

Проверь себя

Сначала запиши решение на бумаге. Разбор ниже открывай после попытки.

1. Кислород, $m = 16$ г, $M = 0{,}032$ кг/моль, занимает $V = 5{,}0$ л при $27$ °C. Найди давление.
2. Почему ответ с подстановкой $27$ К не принимается? Какое число получилось бы ошибочно?
3. Масса газа не менялась. $p_1 = 1{,}00 \times 10^{5}$ Па, $V_1 = 3{,}00 \times 10^{-3}$ м³, $T_1 = 300$ К, $V_2 = 2{,}00 \times 10^{-3}$ м³, $T_2 = 400$ К. Найди $p_2$. Менялся ли только один параметр?
4. Можно ли этим уравнением найти давление воды в стакане? Ответ одной фразой.
5. Гелий, $m = 2{,}00$ г, $M = 0{,}004$ кг/моль, $V = 10{,}0$ л, $t = 27$ °C. Найди $p$.

Показать ответ после выполнения

Коротко

• Состояние идеального газа связывают уравнением $pV = \nu RT$, или $pV = (m/M)RT$.
• $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К). В формулу подставляют кельвины и кубические метры.
• При тех же массе и молярной массе $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$.
• Для жидкости, твёрдого тела и сильно сжатого газа уравнение не используют.
• Смесь газов и процессы с одним постоянным параметром — следующие занятия.