Изотермический процесс изменения состояния идеального газа

Закрытый шприц с воздухом лежит на столе. Если медленно сдвинуть поршень и не выпустить воздух, объём меняется. Комнатная температура при этом может остаться прежней.

На этом занятии разбираем только такой процесс: температура идеального газа не меняется. Как при этом связаны давление и объём, какую кривую строят и когда формула уже не годится. Измерения по таблице — следующее занятие. Процессы при постоянном давлении и при постоянном объёме сюда не входят.

Носик запаян, иглы нет. Шкалы нет: это постановка, не измерение.

Постановка, не измерение. Шкалы на рисунке нет: числа берут из условия задачи.

Поршень можно сдвинуть. Воздух из запаянного носика не выходит.

Что сохраняют

Изотермический процесс — изменение состояния идеального газа при постоянной температуре.

Для закона этого урока нужны ещё два условия. Количество газа не меняется: сосуд закрыт, воздух не входит и не выходит. Объём меняют медленно, чтобы температура газа успевала сравняться с температурой комнаты. Комната здесь работает как большой термостат.

Показание термометра в формулу не подставляют. Оно нужно только как проверка, что температура не изменилась. Равные показания в градусах Цельсия означают и равные температуры по Кельвину, но сами градусы в запись закона не входят.

Пробка держит одну и ту же порцию воздуха. Пока сосуд закрыт, количество газа постоянно.

Ещё один закрытый сосуд. Количество газа в нём не меняется.

Откуда берётся закон

Уравнение состояния идеального газа уже известно:

$$pV = \nu RT$$

Здесь $p$ — давление в паскалях, $V$ — объём в кубических метрах, $\nu$ — количество вещества в молях, $T$ — абсолютная температура в кельвинах, $R$ — универсальная газовая постоянная. Если $\nu$ и $T$ одни и те же в двух состояниях, правая часть не меняется. Значит, не меняется и произведение $pV$:

$$pV = \mathrm{const}$$

Это закон Бойля–Мариотта. Для двух состояний одной и той же порции:

$$p_1 V_1 = p_2 V_2$$

Давление обратно пропорционально объёму. Во сколько раз уменьшили объём, во столько раз выросло давление, и наоборот. Запись $p_1/V_1 = p_2/V_2$ — другая зависимость, к этому закону она не относится.

Столбики воздуха разной длины. Порция одна, температура одна. Где объём меньше, там давление больше. По фото давление не считывают.

На бумаге нет записей и нет шкалы. Числа задачи ниже не срисованы с фото.

Пример

Воздух закрыт, температуру не меняли. $p_1 = 1{,}00 \times 10^{5}$ Па, $V_1 = 4{,}00 \times 10^{-3}$ м³, $V_2 = 1{,}00 \times 10^{-3}$ м³. Объём стал в четыре раза меньше.

$$p_2 = \frac{p_1 V_1}{V_2} = \frac{1{,}00 \times 10^{5} \times 4{,}00 \times 10^{-3}}{1{,}00 \times 10^{-3}} = 4{,}00 \times 10^{5}\ \text{Па}$$

Проверка произведениями, в паскалях на кубический метр:

$$p_1 V_1 = 1{,}00 \times 10^{5} \times 4{,}00 \times 10^{-3} = 400$$ $$p_2 V_2 = 4{,}00 \times 10^{5} \times 1{,}00 \times 10^{-3} = 400$$

Совпали. Если бы во втором состоянии получилось другое произведение, где-то потеряна степень десятки или перепутаны состояния.

Пробка на месте. Для такого сосуда температура в формулу не подставляется: она только условие.

График

В осях $p$ и $V$ закон $p = \mathrm{const}/V$ даёт гиперболу. Эту кривую называют изотермой. У идеального газа в этой модели давление и объём на нуль не выходят, поэтому кривую к осям не доводят.

Для произведения $400$ Па·м³ удобно читать объём в $10^{-3}$ м³, а давление в $10^{5}$ Па. Тогда на графике лежат точки $(1{,}00;\ 4{,}00)$, $(2{,}00;\ 2{,}00)$, $(4{,}00;\ 1{,}00)$, $(8{,}00;\ 0{,}50)$. Прямая через них — уже другой рисунок, не изотерма. Прямая из начала координат, где давление растёт вместе с объёмом, тем более не она.

Если количество газа то же, а постоянная температура вдвое больше, произведение $pV = \nu RT$ тоже вдвое больше: $800$ Па·м³. Новая гипербола лежит дальше от осей. Это по-прежнему изотермы, только двух разных температур. Значение температуры в кельвинах для такого сравнения не требуется: важно, какая постоянная температура выше.

Пузырёк

Пузырёк воздуха всплывает в воде. Глубже давление жидкости больше, у поверхности — меньше. Температура воды по глубине почти одна и та же, и воздух из пузырька не успевает раствориться. Тогда объём пузырька ближе к поверхности больше. Это качественная картина закона, не задача: глубину и давление никто не измерил, в формулу подставлять нечего.

Один пузырёк. Рисунок показывает идею, а не пару измеренных $p$ и $V$.

Вдох целиком в эту формулу не подставляют. В начале вдоха объём грудной клетки растёт и давление воздуха, который уже в лёгких, падает, но затем снаружи входит новая порция. Количество воздуха за весь вдох не постоянно, поэтому равенство $p_1 V_1 = p_2 V_2$ для лёгких не считают.

Горло открыто: воздух может войти и выйти. Это уже не одна и та же порция.

Где закон не применяют

• Поршень толкнули резко. Газ нагревается, одна температура всему объёму не успевает установиться. Произведение $pV$ уже не обязано сохраниться.
• Сосуд открыт или пробка травит. Количество газа меняется.
• Плотность велика, давление в сотни раз выше атмосферного. Это уже плохой идеальный газ, и закон Бойля–Мариотта выполняется заметно хуже.
• Температура изменилась. Тогда возвращаются к уравнению состояния с двумя температурами. Это не формула сегодняшнего урока.

Частые ошибки

Пробка держит порцию. На стекле нет шкалы.

Проверь себя

Сначала запиши ответы. Разбор ниже закрыт, пока сам не попробуешь.

1. При каких условиях для идеального газа пишут $pV = \mathrm{const}$?
2. $p_1 = 1{,}50 \times 10^{5}$ Па, $V_1 = 2{,}00 \times 10^{-3}$ м³, $V_2 = 6{,}00 \times 10^{-3}$ м³, температура не менялась, сосуд закрыт. Найди $p_2$ и проверь оба произведения.
3. Объём той же порции медленно стал в три раза меньше, температура прежняя. Что произошло с давлением?
4. Почему прямая из начала координат в осях $p$–$V$ не является изотермой?
5. Почему резкий толчок поршня нельзя считать примером этого закона?
6. Две гиперболы построены для одного и того же количества газа. Какая соответствует более высокой постоянной температуре?

Показать ответ после выполнения

Коротко

• Изотермический процесс идёт при постоянной температуре.
• Для закрытой порции идеального газа $p_1 V_1 = p_2 V_2$. Давление обратно пропорционально объёму.
• График в осях $p$–$V$ — гипербола, изотерма. Более высокой постоянной температуре той же порции соответствует кривая дальше от осей.
• Градусы Цельсия в эту формулу не подставляют. Резкий толчок, утечка и очень плотный газ закон выводят из области, где им пользуются.
• Таблица измерений — следующее занятие. Этот текст её не заменяет.

Домашнюю кривую рисуют на чистом листе. На фото нет клеток, цифр и шкалы.