Скалярные и векторные величины. Действия над векторами

Скалярные и векторные величины. Действия над векторами

Схемы можно открыть отдельно: нажми на рисунок, чтобы рассмотреть подписи в увеличенном виде.

Почему одного числа недостаточно

Два велосипедиста едут по прямым параллельным дорожкам навстречу друг другу. В нашей модели у каждого модуль скорости 5 м/с относительно дорожки. Числа одинаковы. Одинаковы ли векторы скорости? Сначала запиши свой прогноз и коротко объясни его.

Фотореалистичная иллюстрация создана для урока. Значение 5 м/с задано в условии модели, а не измерено по изображению.

Похожий вопрос возникает с силой. На коробку можно надавить сверху, а можно толкнуть сбоку. Запись «10 Н» ещё не описывает силу полностью: нужно указать, куда она направлена.

Учебная схема показывает направления сил, а не измеренный результат опыта. Будет ли коробка двигаться, зависит также от других сил.

К концу урока ты сможешь читать стрелки как физические величины, строить сумму и разность векторов и проверять результат по направлению и модулю.

Скаляр и вектор

Чтобы задать скалярную величину, достаточно её числового значения и единицы измерения. Например: масса 2 кг, время 8 с, путь 12 м. Направление у этих величин не указывают.

Векторная величина имеет модуль и направление. Примеры — сила и скорость. Для скорости важно различать сам вектор и его модуль: два велосипедиста могут двигаться с одинаковым модулем скорости 5 м/с, но в противоположных направлениях. Их векторы скорости тогда различны.

Вектор изображают направленным отрезком — стрелкой. В записи над буквой ставят стрелку: $\vec F$, $\vec v$, $\vec a$. Модуль обозначают без стрелки или с помощью вертикальных черт: $F=|\vec F|$. Модуль не бывает отрицательным. На схемах буквы возле стрелок называют соответствующие векторы.

Масштаб: сколько ньютонов в одном сантиметре

Длина нарисованной стрелки выражает модуль только при выбранном масштабе. Пусть 1 см на бумаге соответствует 2 Н. Тогда силу 4 Н изображают стрелкой длиной 2 см, а силу 8 Н — стрелкой длиной 4 см.

Экран может увеличивать рисунок. Указанные сантиметры относятся к построению в тетради; измерять сантиметры линейкой на экране не нужно.

Для чертежа сначала выбери масштаб, затем вычисли длину стрелки и подпиши величину. Сравнивать длины стрелок на разных рисунках без проверки масштаба нельзя.

Когда векторы равны

Для равенства нужны сразу два условия: одинаковые модули и одинаковые направления. Стрелки можно расположить в разных местах листа: это само по себе не делает геометрические векторы различными. Но поворачивать стрелку при переносе нельзя.

Если длины одинаковы, а направления противоположны, векторы называют противоположными: $\vec c=-\vec a$. Их модули равны, но сами векторы не равны, если они ненулевые.

Здесь мы выполняем геометрические построения с векторами. Это не означает, что силу можно произвольно приложить к другой точке реального тела: точка приложения тоже может влиять на результат действия силы.

Угол между векторами

Для двух ненулевых векторов мысленно перенеси стрелки так, чтобы их начала совпали, сохранив направления. Меньший угол между ними и есть угол между векторами: от 0° до 180°. Для одинаково направленных векторов он равен 0°, для перпендикулярных — 90°, для противоположно направленных — 180°.

В двух правых парах стрелки слегка разнесены для видимости. Для определения угла совмести их начала без поворота.

Умножение вектора на число

Пусть $\vec b=k\vec a$. Модуль результата равен модулю исходного вектора, умноженному на модуль числа:

$$|\vec b|=|k|\,|\vec a|.$$

При $k>0$ направление сохраняется, при $k<0$ — меняется на противоположное. Например, $2\vec a$ вдвое длиннее исходного вектора, $0{,}5\vec a$ — вдвое короче, а $-\vec a$ имеет ту же длину и противоположное направление. При $k=0$ получается нулевой вектор.

Попробуй сам. Вектор силы направлен вправо, его модуль 6 Н. Как направлен вектор $-0{,}5\vec F$ и чему равен его модуль? Сначала ответь, затем найди проверку в конце урока.

Сложение: учитывай направление

Для одинаково направленных векторов модули складываются. Если силы 3 Н и 4 Н направлены вправо, их векторная сумма направлена вправо и имеет модуль 7 Н.

Если векторы направлены противоположно, из большего модуля вычитают меньший. Для 3 Н вправо и 4 Н влево сумма имеет модуль 1 Н и направлена влево — в сторону вектора с большим модулем.

Значит, одни и те же числа 3 и 4 могут дать разные модули суммы. Сначала прочитай направления, затем считай. Складывать физические векторы можно только для совместимых величин: например, силы с силами, скорости со скоростями.

Правило треугольника

Как быть, если векторы направлены под углом? Начни с построения.

1. Изобрази первый вектор $\vec a$ в выбранном масштабе.
2. Перенеси второй вектор $\vec b$ так, чтобы его начало совпало с концом первого. Сохрани длину и направление.
3. Проведи стрелку от начала первого вектора к концу второго. Это сумма $\vec a+\vec b$.

У результата тоже есть направление. Соединить две точки отрезком недостаточно: поставь стрелку на нужном конце. Если поменять порядок слагаемых, сумма останется прежней.

Правило параллелограмма

Есть другой способ получить ту же сумму. Совмести начала векторов без поворота. Дострой параллелограмм, у которого эти векторы образуют две стороны. Проведи его диагональ из общего начала: она и изображает сумму.

Вторая диагональ не является суммой этих векторов. Проверить выбор можно правилом треугольника: оба построения должны привести к одной точке.

Построй в тетради. Сложи силы 4 Н вправо и 3 Н вверх в масштабе 1 см ↔ 1 Н. Выполни оба построения, подпиши модуль и направление результата. Ответ найдёшь в разделе проверки в конце урока. Угол численно находить не требуется.

Если застрял. Отметь начало первого вектора точкой. Перенеси второй вектор без поворота в конец первого. Другим цветом соедини отмеченную точку с концом второго. Проверь, куда смотрит наконечник. Модуль суммы и сумма модулей — разные вещи: не заменяй построение сложением чисел.

Вычитание векторов

Вычесть вектор — значит прибавить противоположный ему:

$$\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b).$$

Сначала замени $\vec b$ вектором той же длины с противоположным направлением, затем используй правило треугольника.

Второй способ: совмести начала исходных векторов. Проведи стрелку из конца вычитаемого $\vec b$ в конец уменьшаемого $\vec a$. На схеме это стрелка от верхней точки к правой.

Если $\vec a$ направлен вправо, а $\vec b$ — вверх, то $\vec a-\vec b$ направлен вправо и вниз. Вектор $\vec b-\vec a$ направлен противоположно. Порядок при вычитании важен.

Нулевой вектор

Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору. То же получится при вычитании вектора из самого себя. Модуль нулевого вектора равен нулю; определённого направления у него нет.

Не рисуй маленькую стрелку вместо нулевого вектора: она означала бы ненулевой модуль. Отметь точку и подпиши $\vec 0$.

Проверь себя

Сначала ответь без подсказок. Для построений нужны тетрадь, карандаш и линейка; телефон не требуется.

1. Раздели на скалярные и векторные величины: масса, время, сила, путь, скорость. Объясни один выбор.
2. Две стрелки одинаковой длины направлены вправо и вверх. Равны ли векторы? Какой угол между ними?
3. Сила $\vec F$ имеет модуль 6 Н и направлена вправо. Найди модуль и направление $-0{,}5\vec F$.
4. Найди сумму сил 5 Н вправо и 2 Н влево. Укажи модуль и направление.
5. Построй сумму векторов сил 6 Н вправо и 8 Н вверх в масштабе 1 см ↔ 2 Н. Определи модуль результата.
6. Для тех же векторов построй разность: из силы вправо вычти силу вверх. Как изменится направление по сравнению с суммой? Каков модуль?
7. Ученик совместил начала векторов из задания 5, соединил их концы стрелкой и назвал её суммой. В чём ошибка? Покажи правильную сумму на своём чертеже.

Показать ответ после выполнения

Что запомнить

• У вектора есть модуль и направление; для скаляра направление не задают.
• При переносе геометрического вектора сохраняй длину и направление.
• Складывай векторы по треугольнику или параллелограмму.
• Вычитание заменяй сложением с противоположным вектором.
• Всегда проверяй масштаб, единицы и направление результата.

Для любознательных: три вектора и больше

Приставляй начало каждого следующего вектора к концу предыдущего. Сумма направлена от начала первого к концу последнего. Это правило многоугольника; оно повторяет правило треугольника несколько раз.

Дополнительный вызов: поворачивай две бумажные стрелки длиной 3 и 4 см. Наибольшая длина их суммы — 7 см при одинаковых направлениях, наименьшая — 1 см при противоположных. Промежуточные углы дают промежуточные длины.

Учебник и домашняя работа

Прочитай §3, с.12–15 учебника «Физика. 9 класс» (2026). Ответь устно на контрольные вопросы 1–6 на с.15. В тетради построй сумму и разность векторов сил 4 Н вправо и 2 Н вверх в масштабе 1 см ↔ 1 Н. Подпиши направления, модуль оцени линейкой. Телефон не нужен.

Официальный учебник, §3. Дополнительное объяснение графических построений: OpenStax, Physics, 5.1. Схемы, фотоиллюстрация и тренировочные задания созданы специально для урока.