Проекция вектора на ось

Проекция вектора на ось

Вектор задаётся модулем и направлением. Но часто нужно понять, какую величину он даёт вдоль выбранной оси. Например, у наклонно направленной силы можно отдельно рассмотреть горизонтальную и вертикальную проекции.

Подумай: длина всей стрелки и расстояние между её концами вдоль горизонтали — одно и то же? Нажми на любую схему, чтобы открыть её крупно.

После урока ты сможешь строить проекцию вектора, определять её знак и вычислять её по координатам или по модулю и углу.

Реалистичная сгенерированная фотоиллюстрация. Направление наклонной ручки помогает поставить вопрос о горизонтальной проекции; значений силы по снимку не определяем.

Сначала — проекция точки

Проведи из точки $M$ перпендикуляр к оси $Ox$. Его основание $M_x$ и есть проекция точки на эту ось. Здесь важно слово перпендикуляр: наклонный отрезок для построения не подходит. Если точка уже лежит на оси, её проекция совпадает с самой точкой.

Попробуй построить такую проекцию в тетради линейкой и угольником.

Проекция вектора — число со знаком

Пусть $\vec a$ направлен из $A$ в $B$. Спроецируй на ось обе точки: начало $A$ и конец $B$. Получатся $A_x$ и $B_x$.

Проекция $a_x$ — длина отрезка между этими точками, взятая с нужным знаком. Чтобы выбрать знак, мысленно пройди от проекции начала к проекции конца:

• по положительному направлению оси — знак «плюс»;
• против положительного направления — знак «минус»;
• точки совпали — проекция равна нулю.

Не путай обозначения: $\vec a$ — вектор, $a=|\vec a|$ — его модуль, а $a_x$ — проекция на ось. У проекции нет стрелки над буквой. Если вектор изображает силу в ньютонах, её проекция тоже измеряется в ньютонах.

Когда возникает минус

На этой схеме начало $A$ находится правее конца $B$. Ось направлена вправо. От $A_x$ к $B_x$ нужно идти против оси, поэтому $a_x<0$.

Длина отрезка при этом не становится отрицательной. Минус сообщает направление относительно выбранной оси. Поэтому фраза «проекция отрицательна» верна, а «длина отрицательна» — нет.

Нулевая проекция ненулевого вектора

Если вектор перпендикулярен оси, проекции его начала и конца совпадают. Расстояние между ними равно нулю, значит, $a_x=0$.

Это не означает, что сам вектор нулевой. Например, вертикальная сила может иметь ненулевой модуль, но нулевую горизонтальную проекцию. У нулевого вектора все проекции нулевые, а направление и угол с осью не задают.

Что изменится, если развернуть ось

Оставим вектор неподвижным, а положительное направление оси заменим противоположным. Проекция поменяет знак. Сам вектор — его модуль и направление — сохранится.

Поэтому нельзя определять знак только по словам «влево» или «вправо». Сначала найди стрелку положительного направления оси. При обращении оси нулевая проекция остаётся нулевой.

По координатам: конец минус начало

Проекция вектора из $A$ в $B$ равна разности координат его конца и начала:

$$a_x=x_B-x_A.$$

Пусть $x_A=6\,\text{м}$, а $x_B=2\,\text{м}$. Ещё до вычисления видно: конец находится против положительного направления от начала, поэтому проекция должна быть отрицательной.

Получаем $a_x=2-6=-4\,\text{м}$. Ошибка $6-2=4$ возникает, если поменять начало и конец местами. Если одинаково сдвинуть начало координат, обе координаты изменятся на одно число, а их разность сохранится.

По модулю и углу

Обозначим через $\varphi$ угол между ненулевым вектором и положительным направлением оси. Для острого угла виден прямоугольный треугольник: модуль вектора — гипотенуза, положительная проекция — прилежащий катет.

Из определения косинуса получаем:

$$a_x=a\cos\varphi.$$

Формула действует при всех углах от $0^\circ$ до $180^\circ$. При остром угле косинус положителен, при тупом — отрицателен. Для нулевого вектора сразу пишем проекцию 0, без вычисления угла.

Три опорных случая удобно запомнить:

Модуль проекции не превышает модуль вектора: $|a_x|\leq a$. Это полезная проверка ответа.

Пример. Сила $F=10\,\text{Н}$ образует с положительной осью угол $60^\circ$. Дано $\cos60^\circ=0{,}5$. Тогда $F_x=10\cdot0{,}5=+5\,\text{Н}$. При угле $120^\circ$, для которого $\cos120^\circ=-0{,}5$, проекция той же по модулю силы равна $-5\,\text{Н}$.

Проекции суммы и разности

Если $\vec c=\vec a+\vec b$, то на одной и той же оси $c_x=a_x+b_x$. Складывай проекции со знаками.

В примере $c_x=5+(-2)=3$. Это безразмерные учебные векторы, поэтому единицы не добавляем.

Для разности $\vec d=\vec a-\vec b$ правило такое же: $d_x=a_x-b_x$.

При $a_x=7$ и $b_x=-2$ получаем $d_x=7-(-2)=9$, а не 5. Сначала поставь отрицательное число в скобки, затем выполни вычитание.

Дополнительно: две проекции

Одна проекция не описывает вектор целиком: у разных векторов она может совпадать. Для вектора в плоскости $xOy$ достаточно двух проекций — $a_x$ и $a_y$.

Если $a_x=6$ и $a_y=8$, по теореме Пифагора $a=\sqrt{6^2+8^2}=10$. Для угла с положительной $Ox$ получаем $\cos\varphi=6/10=0{,}6$, то есть $\varphi\approx53^\circ$. В пространстве вектор задаётся тремя проекциями. Это расширение: для основных заданий урока оно не требуется.

Проверь себя

Реши в тетради до раскрытия ответов. Угол в заданиях всегда отсчитывается от положительного направления оси. Если единицы не указаны, векторы безразмерные.

1. Вектор направлен из $A(-2;1)$ в $B(3;1)$. Ось $Ox$ направлена вправо. Найди $a_x$ и объясни знак.
2. $F=8\,\text{Н}$, $\varphi=120^\circ$, $\cos120^\circ=-0{,}5$. Найди $F_x$.
3. Ненулевой вектор перпендикулярен оси. Чему равна его проекция? Обязательно ли сам вектор нулевой?
4. Проекция вектора равна $+3$. Чему она будет равна после обращения оси, если вектор не изменился?
5. $a_x=5$, $b_x=-3$. Найди проекции суммы $\vec a+\vec b$ и разности $\vec a-\vec b$.
6. Модуль ненулевого вектора равен 10, проекция равна $+5$. Выбери угол с положительной осью: $60^\circ$ или $120^\circ$. Известно: $\cos60^\circ=0{,}5$, $\cos120^\circ=-0{,}5$.

Показать ответ после выполнения

Что запомнить

• Проекция — число со знаком, а модуль вектора неотрицателен.
• На рисунке сначала найди направление оси и проекции начала и конца.
• По координатам: $a_x=x_B-x_A$. По углу: $a_x=a\cos\varphi$.
• Проекции суммы складываются, проекции разности вычитаются на одной и той же оси.

Основа урока: учебник физики IX класса, 2026, §4, с.16–19. Все 12 схем и учебные задания этого комплекта созданы заново.