Практикум: векторы и проекции

Векторы и проекции

Верёвка тянет санки. На верёвке можно написать одно и то же число, 20 Н, а санки поедут по-разному: верёвка может идти почти вдоль снега или круто вверх. Числа мало. Нужны направление и проекция на выбранную ось.

За этот практикум ты научишься складывать и вычитать стрелки и читать проекцию со знаком. Путь и перемещение здесь не рассматриваем: это отдельная последующая тема.

Наклон верёвки меняет, какая часть силы тянет санки вперёд. 20 Н — условие задачи, на фото силы нет.

Фотографии в уроке — сгенерированные иллюстрации, не результаты измерений. Числа задаются условиями задач; точные построения показаны на схемах.

Стрелка хранит два сведения

Скаляр задаётся числом и единицей: масса 25 кг, путь 10 м. Вектор задаётся модулем и направлением. Сила и скорость — векторы. На чертеже вектор — стрелка. В формуле над буквой ставят стрелку. Модуль изображают длиной стрелки в выбранном масштабе; у любого ненулевого вектора он положителен.

Два вектора равны, только если совпали и модуль, и направление. Их можно перенести на параллельную прямую, направление при этом не меняют.

Синие стрелки равны: одна длина и одно направление. Короткая терракотовая смотрит навстречу — это другой вектор.

Умножение на число

Если $|a| = 4$, то вектор $k\vec a$ имеет модуль $|k| \cdot 4$.

Множитель −1 меняет направление, сохраняя модуль. Вектор $-\vec a$ такой же длины, как $\vec a$, но смотрит в другую сторону. Нулевому вектору направление не приписывают: его модуль равен нулю.

Сначала одна прямая

Возьми модули 5 и 12.

Если стрелки смотрят в одну сторону, модуль суммы $5 + 12 = 17$. Сумма смотрит туда же.

Если стрелки смотрят навстречу, модуль суммы $|12 - 5| = 7$. Сумма смотрит в сторону большей стрелки.

Чёрная стрелка — сумма. В одну сторону она длиннее обеих, навстречу — короче большей.

Конец одной стрелки ставят в начало следующей. Жёлтая ещё лежит отдельно: это не сумма трёх векторов.

Под прямым углом модуль уже не 17

Конец первого вектора ставят в начало второго, не поворачивая стрелки. Сумма идёт из начала первого в конец второго. Так устроено правило треугольника. Правило параллелограмма даёт ту же диагональ.

Для 5 и 12 при прямом угле

$|\vec a + \vec b| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13.$

Сумма модулей по-прежнему 17. Модуль суммы меньше, потому что стрелки не сонаправлены. Равенство $|\vec a + \vec b| = |\vec a| + |\vec b|$ для ненулевых векторов выполняется только при одном направлении.

Здесь стрелки смотрят в разные стороны, поэтому модуль суммы не равен 5 + 12. Чертёж с ответом 13 делают по клеткам или по угольнику.

Разность — другая стрелка

Совмести начала. Проведи стрелку из конца вычитаемого вектора $\vec b$ в конец $\vec a$. Это $\vec a - \vec b$, то же самое, что $\vec a + (-\vec b)$.

При тех же 5 и 12 под прямым углом модуль разности тоже 13, но стрелка смотрит не туда, куда сумма. Вычитание модулей $12 - 5 = 7$ относится только к одной прямой.

Навстречу друг другу — случай одной прямой. Под прямым углом нужен чертёж с общим началом.

Построение проекции

Проекция точки на ось — основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось. Проекция вектора — длина отрезка между проекциями начала и конца, взятая со знаком «+» или «−».

Плюс ставят, если угол между вектором и положительным направлением оси острый. Минус — если угол тупой. Если угол прямой, проекция равна нулю, хотя сам вектор может быть не нулевым. При 0° проекция равна модулю, при 180° она равна модулю со знаком минус.

Тень зависит от лампы и может не лечь на выбранную ось. Проекцию строят перпендикуляром к этой оси.

Для любой оси работает одна формула. Угол $\varphi$ измеряют между вектором и положительным направлением именно этой оси:

$a_x = a \cos\varphi.$

Косинусов, которых хватает сегодня:

Сила 20 Н и ось $Ox$:

• угол $60^\circ$: $F_x = 20 \cdot \dfrac{1}{2} = 10$ Н;
• угол $120^\circ$: $F_x = 20 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -10$ Н;
• угол $90^\circ$: $F_x = 0$, модуль силы по-прежнему 20 Н.

Минус не означает, что сила стала «отрицательной длиной». Отрицательный знак означает, что от проекции начала к проекции конца идут против положительного направления оси. Проекцию на другую ось считают по углу с той осью. Сегодня её не требуем.

Проекция суммы равна сумме проекций, знаки сохраняют. Если $a_x = 4$ и $b_x = -6$, то

$(\vec a + \vec b)_x = 4 + (-6) = -2.$

Это не $|4| + |-6|$. Проекция разности равна разности проекций.

Проекцию можно прочитать и по координатам: из координаты конца вычитают координату начала. Вектор из точки $(1; 3)$ в точку $(4; 3)$ имеет $a_x = 3$ и $a_y = 0$.

Проверь себя

Сначала запиши ответы. Ниже они даны для сверки.

1. Модуль $\vec a$ равен 6. Чему равны модуль и направление вектора $-2\vec a$?
2. Модули 6 и 8, направления противоположны. Чему равен модуль суммы и куда она смотрит?
3. Модули 6 и 8 под прямым углом. Найди модуль суммы. Почему это не 14?
4. Модуль вектора 8, угол с положительным направлением оси $Ox$ равен $180^\circ$. Чему равна проекция на $Ox$?
5. Вектор идёт из $(2; 1)$ в $(2; 5)$. Найди обе проекции.
6. $a_x = 7$, $b_x = -2$. Чему равна проекция суммы на $Ox$?

Показать ответ после выполнения

Помощь после ошибки

Если потерял знак, сначала нарисуй положительное направление оси и отметь начало и конец вектора. Если складывал модули вместо векторов, построй цепочку стрелок без поворота.

Новая попытка: $a_x=2$, $b_x=-5$. Найди проекцию суммы и объясни знак. Сверка: $2+(-5)=-3$, результирующая проекция отрицательна.

Дома без телефона

Вырежи стрелки 6 см и 8 см. В одну сторону замыкающая должна измериться как 14 см. Навстречу — как 2 см, в сторону длинной стрелки.

Нарисуй ось $Ox$ вправо. Стрелка 8 см строго влево даёт проекцию −8 см. Стрелка 8 см строго вверх даёт проекцию на $Ox$, равную 0.

Если есть угольник, построй 5 см и 12 см под прямым углом. Замыкающая близка к 13 см. Расхождение — ошибка построения, не другая физика. Ножницы передавай закрытыми и режь от пальцев. Телефон не нужен.

Запомни

• Множитель −1 разворачивает стрелку и сохраняет её модуль.
• Для ненулевых векторов модуль суммы равен сумме модулей только при одинаковом направлении. Если один вектор нулевой, равенство также выполняется.
• Знак проекции показывает направление вдоль оси, а не «отрицательную длину».