ЛР №1. Определение абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений

Погрешность прямого измерения

Двое смотрят на один и тот же шарик. Один отпускает, другой держит секундомер. Кажется, что время одно. На практике числа часто расходятся: рука нажимает кнопку чуть раньше или чуть позже.

За этот урок ты научишься записывать прямое измерение времени не одной цифрой, а интервалом, и выражать абсолютную погрешность в процентах от среднего времени. Путь, перемещение и формула периода маятника здесь не нужны.

Шарик не отклонён, на экране нет цифр. Это постановка вопроса, а не измерение.

Фотографии — сгенерированные иллюстрации. Показания берут только с реального прибора; числа в учебных примерах заданы условием.

Прямое измерение читают с прибора

Время в этой работе читают с электронного секундомера. Такое измерение называют прямым: число берётся с прибора, а не вычисляется по другим величинам.

Ни один прибор не точен абсолютно. Даже если экран показывает сотые доли секунды, человек, который нажимает кнопки, добавляет свой разброс. Погрешность — не «двойка за невнимательность». Она характеризует неопределённость результата.

Экран пустой. Дискретность 0,01 с — свойство прибора из условия, а не цифра, снятая с фотографии.

Для электронного секундомера с шагом 0,01 с таблица приборов даёт приборную погрешность тоже 0,01 с. Погрешность отсчёта у такого секундомера равна дискретности, ещё 0,01 с. Вместе это систематическая часть:

$\Delta t_{\text{сист}} = 0{,}01 + 0{,}01 = 0{,}02\ \text{с}.$

Правило «половина деления», которым пользуются на шкальной линейке в VII классе, сюда не переносят. У электронного секундомера вместо него стоит дискретность экрана.

Если шаг прибора 0,1 с, и приборная погрешность, и погрешность отсчёта равны 0,1 с. Дальше в примере взят шаг 0,01 с.

Что засекают

Штатив стоит всей подошвой на столе. Нить длиной около 1 м завязана так, чтобы шарик не сорвался. Угольником нить отклоняют на 30° от вертикали, отпускают без толчка, одновременно запускают секундомер и останавливают секундомер при первом возвращении шарика к крайнему положению с исходной стороны. Так делают пять раз. Угольник задаёт угол, его не бросают. Траектория шарика — в сторону от лиц и ламп. Секундомер не роняют к ногам. Телефон секундомером не заменяют.

Угольник ждёт на столе. Шарик висит прямо: угол 30° на этом кадре не выставлен и не измерен.

Это не момент стопа: шарик ещё в пути, секундомер лежит экраном вниз, показания нет. Стоп делают в первой крайней точке с исходной стороны, а не в нижней точке. Из-за затухания точное совпадение с исходной точкой не требуется. Тень на стене не заменяет угольник.

Отвес помогает увидеть вертикаль. Угол с вертикалью выставляют угольником до отпускания. Пальцы на фото угол не измеряют.

Сначала чужой ряд

Прежде чем измерять своё, разбери учебный ряд из пяти чисел. Это заданные данные для тренировки, а не результаты вашего опыта. В условии секундомер имеет шаг 0,01 с:

Сумма равна 10,00 с. Среднее — центр ряда:

$\langle t \rangle = \frac{10{,}00}{5} = 2{,}00\ \text{с}.$

Среднее не обязано совпасть ни с одним нажатием. Это не «самое правильное» время, а середина того, что получилось.

Дальше всех от середины стоят 1,88 с и 2,14 с. Они не выбрасываются: разброс как раз из них и виден.

Модуль отклонения — расстояние от числа до среднего, без знака. Иначе отклонения в плюс и в минус съедают друг друга, и сумма становится нулём.

Сумма модулей 0,40 с. Средняя случайная погрешность:

$\Delta t_{\text{случ}} = \frac{0{,}40}{5} = 0{,}08\ \text{с}.$

При пяти опытах коэффициент $k = 3$. Он больше единицы: по короткому ряду разброс оценивают с запасом. Максимальная случайная погрешность

$\Delta t_{\text{случ}}^{\max} = 3 \cdot 0{,}08 = 0{,}24\ \text{с}.$

Для другого числа опытов коэффициент другой: при 7–9 измерениях $k = 2$, при 10 и больше $k = 1$.

Две части одной погрешности

Случайная часть, 0,24 с, пришла от того, что пять чисел не совпали. Систематическая часть 0,02 с учитывает приборную погрешность и погрешность отсчёта по правилам этой лабораторной. Она остаётся и при совпадении показаний. Абсолютная погрешность — их сумма. Единица та же, что у времени:

$\Delta t = 0{,}24 + 0{,}02 = 0{,}26\ \text{с}.$

Полосы показывают две части принятой оценки погрешности. Разброс может быть связан с реакцией человека и неодинаковым пуском. Шаг экрана 0,01 с сам по себе не задаёт полную погрешность.

Результат записывают интервалом:

$t = (2{,}00 \pm 0{,}26)\ \text{с}.$

Интервал тянется от $2{,}00 - 0{,}26 = 1{,}74$ с до $2{,}00 + 0{,}26 = 2{,}26$ с. Края — границы записи, а не два отдельных опыта. Истинное время неизвестно, и вписывать его внутрь полосы не нужно.

Проценты

Относительная погрешность показывает, какую долю среднего занимает абсолютная:

$\varepsilon = \frac{0{,}26}{2{,}00} \cdot 100\% = 13\%.$

В учебном примере получилось 13%. Случайная часть оценки здесь больше приборной; в собственном опыте их соотношение определяют по своему ряду.

Если числа совпали

Представь пять одинаковых показаний 1,80 с. Среднее 1,80 с, все отклонения нулевые, максимальная случайная погрешность тоже нулевая. Абсолютная остаётся систематической:

$\Delta t = 0 + 0{,}02 = 0{,}02\ \text{с}, \qquad \varepsilon = \frac{0{,}02}{1{,}80} \cdot 100\% \approx 1{,}1\%.$

Запись $t = 1{,}80$ с без интервала всё равно была бы неполной.

При изменении угла с 30° до 45° время возврата меняется сравнительно мало. Погрешность прибора сохраняется, но случайный разброс надо оценить по новому ряду. Близость относительных погрешностей можно предположить, а подтвердить — измерениями.

Линейка в эту лабораторную не входит. Для переноса полезно помнить строку таблицы приборов: у металлической или деревянной линейки 150–500 мм приборная погрешность 0,5 мм, у пластмассовой — 1 мм. Это не повод заново мерить стол.

Проверь себя

Сначала запиши ответы. Ниже они даны для сверки. Секундомер тот же: шаг 0,01 с, систематическая погрешность 0,02 с, опытов пять, $k = 3$.

1. Времена 2,31; 2,18; 2,44; 2,27; 2,40 с. Найди среднее, абсолютную погрешность, интервал и проценты.
2. Пять раз получилось 1,80 с. Чему равны случайная и абсолютная погрешности?
3. Опытов не пять, а восемь. Какой коэффициент $k$?
4. Чем приборная погрешность пластмассовой линейки отличается от металлической длиной 150–500 мм?

Свои пять чисел записывают в тетрадь во время опыта. На фото их ещё нет, и придумывать их по картинке не нужно.

Показать ответ после выполнения

Запомни

Прямое измерение читают с прибора, и у него всегда есть погрешность. Абсолютная погрешность этой работы — сумма максимальной случайной и систематической, в тех же секундах. Относительная — доля абсолютной от среднего, в процентах. Маленький шаг экрана не отменяет руку.

Дома установку не собирай и телефон не бери. Ещё раз обработай ряд 2,31; 2,18; 2,44; 2,27; 2,40 с при шаге 0,01 с: интервал и проценты. Свой ответ сверь с разделом выше только после попытки.