Путь и перемещение

Путь и перемещение

У двора две двери. До одной хочется пройти вдоль стены, до другой приходится обогнуть скамейку. След получается разной длины. Стрелка от первой двери ко второй при том же начале и том же конце одна.

За этот урок ты научишься отделять длину следа от стрелки между началом и концом, ставить рядом с путём модуль перемещения и читать знак проекции.

Ленты только намекают, что маршруты бывают разными. Они не соединяют дверь с дверью, и длину с фотографии не снимают.

Фотографии — сгенерированные иллюстрации. Расстояния задаются условиями задач, точные построения показаны на схемах.

Путь — длина следа

Траектория — линия, по которой шла точка. Путь — длина того куска траектории, который пройден за выбранное время. Его обозначают $s$.

Путь — скаляр. У него есть число и единица, направления нет. Отрицательным он не бывает: длина следа не уходит в минус. Два пути за соседние куски складывают как обычные числа, $s_1 + s_2$.

Лента показывает линию ходьбы. Стрелки перемещения на полу нет, метраж с кадра не читают.

Перемещение — стрелка

Перемещение $\Delta\vec r$ — вектор из начального положения в конечное за тот же промежуток. Его рисуют отрезком прямой, даже если сам путь шёл с поворотом. Буква $\Delta$ здесь значит: из конечного вычесть начальное.

Модуль $|\Delta\vec r|$ — длина этой стрелки. У перемещения есть направление, у пути его нет. Поэтому путь ставят рядом с модулем, а не с самой стрелкой.

Конусы можно принять за старт и финиш. Стрелку между ними дорисовывают на схеме. На фото её нет, и расстояние между конусами не измерено.

Для одного и того же промежутка

$s \ge |\Delta\vec r|.$

Равенство получается, когда идут по прямой и не разворачиваются. При движении по ломаной или с возвратом путь больше модуля перемещения.

Пятьдесят метров и сто двадцать

Ось $Ox$ направь на восток, ось $Oy$ — на север. Сначала 50 м на восток, потом 120 м на север.

Путь — сумма длин кусков:

$s = 50 + 120 = 170\,\text{м}.$

Перемещение — одна стрелка от старта к финишу. Её модуль считают как гипотенузу:

$|\Delta\vec r| = \sqrt{50^2 + 120^2} = \sqrt{2500 + 14400} = \sqrt{16900} = 130\,\text{м}.$

130 м меньше 170 м, потому что маршрут повернул. Сумма модулей двух кусков равна 170 м. Модуль суммы равен 130 м. Эти два числа совпадают только тогда, когда куски смотрят в одну сторону.

Синий отрезок — 50 м, терракотовый — 120 м, чёрная стрелка — перемещение 130 м. На чертеже 120 м длиннее 50 м в 2,4 раза, как в условии. Подписи стоят рядом с линиями, не на них.

Проекция перемещения на ось — координата конца минус координата начала. Старт в начале осей, финиш в точке $(50;\,120)$:

$\Delta r_x = +50\,\text{м}, \qquad \Delta r_y = +120\,\text{м}.$

Плюс значит, что проекция смотрит в положительную сторону оси. Если бы кусок шёл против оси, у проекции стоял бы минус. Длина самого куска осталась бы положительной.

Возврат в старт

Прямоугольник со сторонами 20 м и 15 м. Ты обходишь все четыре стороны и встаёшь в ту же точку.

$s = 2\,(20 + 15) = 70\,\text{м}.$

Начало и конец совпали, поэтому перемещение — нулевой вектор. Его модуль 0 м. Путь при этом 70 м. Замыкающую стрелку рисовать некуда: она схлопнулась в точку старта.

Терракотовая точка — и старт, и финиш. Стрелки показывают обход. Отдельной стрелки перемещения нет.

На полу лента не сомкнута: виден разрыв и короткий хвостик. Этот кадр не доказывает, что человек вернулся в ту же точку. Нулевой вектор относится к схеме, где старт и финиш совпали.

По прямой 90 м, без разворота, путь и модуль равны:

$s = |\Delta\vec r| = 90\,\text{м}.$

Если перемещение ненулевое, путь тоже больше нуля. Иначе неравенство $s \ge |\Delta\vec r|$ не выполнилось бы.

Две разные суммы

Пути складывают арифметически. Перемещения складывают так же, как стрелки на практикуме: конец одного вектора ставят в начало следующего, сумма идёт от общего начала к последнему концу.

В маршруте 50 м и 120 м это уже видно. Сумма путей 170 м. Модуль суммарного перемещения 130 м. Складывать модули и называть результат модулем перемещения можно только для кусков одного направления.

Салон и тротуар

В автобусе шаг от задней двери к водителю — стрелка вдоль прохода, к лобовому стеклу. С тротуара тот же шаг описывают другой стрелкой: за время шага автобус тоже сместился относительно улицы. Перемещение зависит от системы отсчёта.

Скорость в этом сравнении не нужна. Вопрос «какой след быстрее» спрашивает про время, а сегодня сравнивают длины.

Салон пустой. Стрелку перемещения на полу не нарисовано. Надписи маршрута на кадре не читаются, и по ним ничего не измеряют.

Проверь себя

Сначала запиши ответы. Ниже они даны для сверки.

1. 75 м на восток, затем 40 м на юг. Ось $Ox$ — на восток, ось $Oy$ — на север. Найди путь, модуль перемещения и обе проекции.
2. Квадрат со стороной 16 м пройден целиком, финиш в старте. Чему равны путь и перемещение?
3. Может ли путь быть равен нулю, если перемещение ненулевое?
4. Счётчик на велосипеде прибавляет километры и на кругах вокруг двора. Он показывает путь или модуль перемещения?

Показать ответ после выполнения

Дома без телефона

Нарисуй маршрут на бумаге: 6 м на восток, затем 8 м на север. Оси направлены на восток и север. Найди путь, модуль перемещения и обе проекции. Затем вернись по тому же маршруту в начальную точку и запиши новый путь и перемещение.

Для самопроверки используй неравенство $s \ge |\Delta\vec r|$. Решение покажи учителю на следующем уроке.

Запомни

• Путь — длина следа. Это скаляр, и он не бывает отрицательным.
• Перемещение — стрелка от начала к концу за тот же промежуток.
• С путём сравнивают модуль стрелки: $s \ge |\Delta\vec r|$.
• Знак проекции показывает сторону оси. Длина куска остаётся положительной.