Ускорение

Ускорение

Автобус трогается с остановки. Один водитель доводит скорость от 2 до 14 м/с за 4 с, другой — за 8 с. Прибавка скорости одинакова. Но в первом случае она происходит быстрее. Физическая величина, которая позволяет сравнить такие изменения, — ускорение.

За этот урок ты научишься вычислять ускорение, объяснять единицу м/с² и определять направление ускорения при разгоне и торможении.

Сгенерированная фотоиллюстрация. По одному снимку нельзя определить ускорение. Все скорости и промежутки времени в задачах заданы условием.

Изменение скорости нужно разделить на время

Скорость — вектор. Изменение скорости находят вычитанием начального вектора из конечного:

$\Delta\vec v = \vec v_2-\vec v_1.$

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости:

$\vec a = \frac{\Delta\vec v}{\Delta t},\qquad \Delta t=t_2-t_1>0.$

Здесь $\vec a$ — ускорение, $\Delta\vec v$ — изменение скорости, $\Delta t$ — время этого изменения. Направление ускорения совпадает с направлением $\Delta\vec v$.

Для произвольного конечного промежутка времени эта формула даёт среднее ускорение. Если ускорение постоянно, она определяет его значение в течение всего промежутка. В основных численных задачах этого урока ускорение считаем постоянным.

При движении вдоль оси $Ox$ удобно работать с проекциями:

$a_x=\frac{v_{2x}-v_{1x}}{\Delta t}.$

Положительное направление оси выбираем до вычисления. Проекции могут быть отрицательными, а промежуток времени всегда положителен.

Что означает метр на секунду в квадрате

Единица ускорения получается из деления скорости на время:

$\frac{\text{м/с}}{\text{с}}=\text{м/с}^2.$

Если $a_x=+2\ \text{м/с}^2$ постоянно, проекция скорости каждую секунду увеличивается на 2 м/с. Например, при начальной проекции 3 м/с:

Это модель с заданными значениями. Ускорение 2 м/с² не означает, что тело каждую секунду проходит 2 м. Путь и изменение скорости — разные величины.

Вернёмся к автобусам. Выберем ось по движению. Для первого $a_x=(14-2)/4=3\ \text{м/с}^2$, для второго — $1{,}5\ \text{м/с}^2$. Первая прибавка скорости происходит вдвое быстрее.

Куда направлено изменение скорости

Пусть тело движется вправо, и проекция скорости выросла с +2 до +14 м/с. Тогда $\Delta v_x=+12\ \text{м/с}$.

Все три стрелки скоростей построены в одном масштабе. Их разнесли по высоте для удобства чтения. Стрелка изменения идёт от конца начальной скорости к концу конечной при совмещённых началах.

Ускорение направлено вправо, как и скорость. При таком прямолинейном движении модуль скорости растёт.

Пример: $v_{1x}=+4\ \text{м/с}$, $v_{2x}=+16\ \text{м/с}$, $\Delta t=6\ \text{с}$. Ускорение:

$a_x=\frac{16-4}{6}=+2\ \text{м/с}^2.$

Подстановка $16/6$ неверна: в числителе должна стоять разность скоростей, а не только конечная скорость.

Ускорение при торможении

Тело всё ещё движется вправо, но за 4 с его проекция скорости уменьшается с +18 до +6 м/с:

$a_x=\frac{6-18}{4}=-3\ \text{м/с}^2.$

Ускорение направлено влево — против скорости. Модуль ускорения равен 3 м/с² и не является отрицательным.

При прямолинейном движении с ненулевой скоростью ускорение, направленное по скорости, увеличивает её модуль; направленное против скорости — уменьшает. Из одного знака $a_x$ ещё нельзя узнать, разгоняется тело или тормозит.

Отрицательная проекция тоже бывает при разгоне

Ось $Ox$ направлена вправо. Спортсмен движется влево: $v_{1x}=-2\ \text{м/с}$, через 4 с $v_{2x}=-10\ \text{м/с}$. Для расчётной модели принимаем постоянное ускорение.

$a_x=\frac{-10-(-2)}{4}=-2\ \text{м/с}^2.$

Модуль скорости вырос с 2 до 10 м/с. Это разгон влево. Отрицательная проекция ускорения показывает направление против положительной оси, а не обязательно торможение.

Сгенерированная иллюстрация. Числа заданы моделью, они не измерены по фотографии.

Синие стрелки — скорость, оранжевые — ускорение. Длины стрелок разных физических величин здесь не сравнивают; схема показывает только направления.

Может ли скорость быть нулевой при ненулевом ускорении

Да. Рассмотрим прямолинейную модель с постоянным $a_x=+2\ \text{м/с}^2$:

Сначала тело движется влево, затем на мгновение останавливается и начинает двигаться вправо. В момент остановки скорость нулевая, но ускорение остаётся +2 м/с². Нулевая скорость в отдельный момент не означает, что скорость перестала изменяться.

Постоянная скорость при прямолинейном движении, напротив, означает нулевое ускорение. На повороте может меняться направление скорости даже при неизменном модуле; эту ситуацию подробно рассмотрим в отдельной теме.

Скорости в километрах в час

Автомобиль едет вправо и снижает скорость с 54 до 18 км/ч за 8 с. Ось направлена вправо. Сначала переводим скорости в СИ, разделив на 3,6:

$54\ \text{км/ч}=15\ \text{м/с},\qquad18\ \text{км/ч}=5\ \text{м/с}.$

Теперь вычисляем:

$a_x=\frac{5-15}{8}=-1{,}25\ \text{м/с}^2.$

Ускорение направлено влево, его модуль 1,25 м/с². Сам автомобиль пока движется вправо. Вычисление в км/ч с последующей подписью «м/с²» дало бы неверную единицу.

Проверь себя

Запиши решение до открытия ответов. Во всех задачах движение прямолинейное, ускорение постоянно, $Ox$ направлена вправо. В задачах A–Г укажи проекцию ускорения, его направление и изменение модуля скорости.

1. A. Проекция скорости выросла с +3 до +15 м/с за 4 с.
2. Б. Проекция скорости уменьшилась с +12 до 0 м/с за 6 с.
3. В. Проекция скорости изменилась с −9 до −3 м/с за 3 с.
4. Г. Проекция скорости изменилась с −4 до −10 м/с за 3 с. Почему знак ускорения не доказывает торможение?
5. Д. При постоянном $a_x=+1\ \text{м/с}^2$ на сколько изменится проекция скорости за каждую секунду?

Ещё одна самостоятельная попытка

Если допустил ошибку, после её исправления закрой ответы и выполни эту новую задачу. Можно решить её и до первой проверки. При постоянном ускорении проекция скорости изменилась с $v_{1x}=+4\ \text{м/с}$ до $v_{2x}=+10\ \text{м/с}$ за $\Delta t=3\ \text{с}$. Ось направлена вправо. Найди проекцию и направление ускорения. Объясни, разгоняется тело или тормозит. Сначала запиши своё решение.

Показать ответ после выполнения

Домашняя работа

Прочитай §10. Для обеих задач ось $Ox$ направлена вправо, ускорение постоянно.

1. $v_{1x}=+5\ \text{м/с}$, $v_{2x}=+17\ \text{м/с}$, $\Delta t=4\ \text{с}$.
2. $v_{1x}=-8\ \text{м/с}$, $v_{2x}=-2\ \text{м/с}$, $\Delta t=2\ \text{с}$.

Найди проекцию, модуль и направление ускорения. Объясни, в каком случае тело тормозит. Задания выполняются в тетради; измерять движение на дороге не требуется.

Главное

Ускорение связано с изменением вектора скорости. Для вычисления сначала выбирают ось, затем находят «конечная проекция минус начальная» и делят на время. Единица СИ — м/с². Направление ускорения определяется изменением скорости; разгон и торможение — взаимным направлением скорости и ускорения.