Скорость при равнопеременном движении

Скорость при равнопеременном движении

Поезд уже движется со скоростью 4 м/с. На выбранном участке его ускорение постоянно и равно 0,5 м/с² по направлению движения. Какой будет скорость через 8 секунд? Сначала запиши прогноз. Важно учесть и прибавку скорости, и то, с какой скоростью поезд двигался вначале.

Сгенерированная фотоиллюстрация. Она не задаёт скорость, ускорение или направление движения расчётной модели. Числа и ось выбираются в условии задачи; измерения у железной дороги не требуются.

На уроке ты научишься вычислять проекцию скорости, читать графики и объяснять, когда тело останавливается и меняет направление.

Постоянное ускорение и меняющаяся скорость

Равнопеременным называют прямолинейное движение с постоянным ускорением. За любые равные промежутки времени скорость получает одинаковые изменения. Например, при $a_x=+3\ \text{м/с}^2$ и начальной проекции $v_{0x}=+2\ \text{м/с}$ получаем:

Это заданная модель. Прибавка за секунду одинакова, а сама скорость меняется. Если ускорение равно нулю, скорость постоянна: формула ниже также описывает этот частный случай — равномерное движение.

Выведем закон скорости

Выберем начало отсчёта времени $t_0=0$. Для постоянного ускорения:

$a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}.$

Умножим на $t$ и прибавим начальную проекцию:

$v_x=v_{0x}+a_xt.$

Здесь $v_{0x}$ — начальная проекция скорости, $v_x$ — проекция в момент $t$, $a_x$ — постоянная проекция ускорения. Время $t$ отсчитывается от начала выбранного участка. Произведение $a_xt$ — изменение проекции скорости. Оно не заменяет конечную скорость, если $v_{0x}\ne0$.

Векторная запись того же закона:

$\vec v=\vec v_0+\vec a t,\qquad \vec a=\text{const}.$

Для вычислений сначала выбираем ось, записываем проекции со знаками и переводим величины в СИ. Единицы согласованы: $(\text{м/с}^2)\cdot\text{с}=\text{м/с}$.

Возвращаемся к поезду

Направим $Ox$ вправо и зададим движение расчётной модели вправо: $v_{0x}=+4\ \text{м/с}$, $a_x=+0{,}5\ \text{м/с}^2$. Тогда:

$v_x=4+0{,}5t,$

где $t$ выражено в секундах, $v_x$ — в м/с. Через 8 секунд:

$v_x=4+0{,}5\cdot8=8\ \text{м/с}.$

Прибавка составляет 4 м/с, итоговая скорость — 8 м/с. Сравни с прогнозом. Ответ 4 м/с означал бы, что начальная скорость забыта.

Если же $v_{0x}=-3\ \text{м/с}$, $a_x=-2\ \text{м/с}^2$, то через 4 с при постоянном ускорении $v_x=-3+(-2)\cdot4=-11\ \text{м/с}$. Тело движется против оси, модуль скорости равен 11 м/с. Отрицательной бывает проекция, а не модуль.

Два графика одной модели

Для поезда закон $v_x=4+0{,}5t$ задаёт прямую. Она начинается на вертикальной оси при 4 м/с, а не в начале координат.

Прочитай график: при 4 с получаем 6 м/с, при 12 с — 10 м/с. Проекция ускорения определяется отношением изменения скорости к времени: $(8-4)/8=0{,}5\ \text{м/с}^2$. Чем больше это отношение, тем быстрее меняется проекция. Сам угол линии на рисунке зависит ещё и от масштабов осей.

График $a_x(t)$ для того же движения — горизонталь: ускорение остаётся 0,5 м/с². Площадь прямоугольника между этой линией и осью времени за 8 с даёт изменение проекции скорости: $0{,}5\cdot8=4\ \text{м/с}$.

Не смешивай два графика: площадь под $a_x(t)$ связана с изменением скорости, а под $v_x(t)$ — с перемещением.

Торможение и граница условия

Тело движется вправо: $v_{0x}=+18\ \text{м/с}$, $a_x=-3\ \text{м/с}^2$ постоянно до остановки. Закон скорости на этом участке:

$v_x=18-3t.$

Через 4 с проекция равна $18-3\cdot4=6\ \text{м/с}$. Чтобы найти момент остановки, подставляем $v_x=0$:

$0=18-3t,\qquad t_{\text{ост}}=6\ \text{с}.$

График на заданном участке проходит точки (0 с; 18 м/с), (4 с; 6 м/с), (6 с; 0 м/с). После 6 с условие ничего не сообщает. Нельзя автоматически продолжать формулу и утверждать, что затормозивший автомобиль поедет назад. Для продолжения нужны новые данные о его ускорении.

Шарик после остановки

Есть другая модель: шарик катится вверх по наклонному жёлобу, на мгновение останавливается и начинает катиться вниз. Ось направим вверх вдоль жёлоба. Зададим $v_{0x}=+2\ \text{м/с}$ и $a_x=-0{,}5\ \text{м/с}^2$ на всём интервале 0–8 с. Жёлоб достаточно длинный, чтобы шарик не достиг края.

Фотоиллюстрация показывает тип установки. Размеры и параметры движения по ней не определяют.

Закон $v_x=2-0{,}5t$ даёт нулевую скорость при $t=4$ с. При $t=8$ с получаем $v_x=-2$ м/с: шарик движется вниз, против выбранной оси.

До 4 с модуль скорости уменьшается с 2 до 0 м/с, после — растёт от 0 до 2 м/с. Ускорение в точке поворота остаётся ненулевым. Модуль скорости повторился, но направления скоростей в начале и конце противоположны.

Средняя скорость и площадь под графиком

При постоянном ускорении средняя проекция скорости равна полусумме начальной и конечной:

$\langle v_x\rangle=\frac{v_{0x}+v_x}{2}.$

Для поезда за первые 8 с это $(4+8)/2=6$ м/с. Поэтому проекция перемещения:

$\Delta r_x=\langle v_x\rangle t=6\cdot8=48\ \text{м}.$

То же число даёт площадь трапеции между графиком $v_x(t)$ и осью времени: $(4+8)\cdot8/2=48$ м.

Здесь тело всё время движется вправо, поэтому путь тоже равен 48 м. Если скорость меняет знак, площади ниже оси учитывают с минусом для перемещения; для пути складывают их модули. Средняя проекция и средняя путевая скорость в таком случае различаются. Полусумму концов для средней проекции используем только при постоянном ускорении.

Проверь себя

Запиши решения до открытия ключей. Во всех задачах ускорение постоянно в указанных интервалах, $Ox$ направлена вправо, кроме модели шарика, где ось направлена вверх по жёлобу.

1. A. $v_{0x}=+5$ м/с, $a_x=+1{,}5$ м/с². Найди $v_x$ через 6 с и направление движения.
2. Б. $v_{0x}=+16$ м/с, $a_x=-2$ м/с² до остановки. Найди $v_x$ через 3 с и время остановки.
3. В. Прямая $v_x(t)$ проходит точки (0 с; −2 м/с) и (4 с; −10 м/с). Ускорение постоянно до 6 с. Найди $a_x$, запиши закон скорости и вычисли $v_x(6)$.
4. Г. Поезд: $v_x=4+0{,}5t$ от 0 до 8 с, величины в СИ. Найди среднюю проекцию скорости и перемещение.
5. Д. Шарик: $v_x=2-0{,}5t$ от 0 до 8 с, СИ. Когда он остановится? Куда движется после остановки? Каков модуль скорости при 8 с?

Новая попытка после ошибки. Закрой ответы после исправления и реши: $v_{0x}=+7$ м/с, $a_x=-1$ м/с² постоянно, $t=3$ с. Найди проекцию, направление движения и объясни, растёт ли модуль скорости. Ось вправо. Можно выполнить эту задачу и до первой проверки.

Показать ответ после выполнения

Домашняя работа

Прочитай §11. В обеих задачах ускорение постоянно, ось направлена вправо.

1. $v_{0x}=-6$ м/с, $a_x=+1$ м/с² постоянно до остановки. Найди $v_x$ через 4 с, модуль, направление движения и время остановки.
2. За 4 с проекция скорости меняется с +2 до +10 м/с. Найди среднюю проекцию скорости и проекцию перемещения.

Решения выполняются в тетради. Наблюдения на дороге или железной дороге не нужны.

Главное

При постоянном ускорении $v_x=v_{0x}+a_xt$. График проекции скорости — прямая, график ускорения — горизонталь. В момент остановки $v_x=0$, но дальнейшее движение зависит от условия модели. Проекция может стать отрицательной; модуль скорости остаётся неотрицательным.