Перемещение, координата и путь при равнопеременном движении

Перемещение, координата и путь

Шарик поднялся по жёлобу и вернулся туда, откуда начал движение. Его конечное положение совпало с начальным. Но весь пройденный путь не исчез. Чтобы описать такую ситуацию, нужно различать три величины: координату, проекцию перемещения и путь.

Фотоиллюстрация ImageGen. Параметры всех задач заданы условием, по снимку их не измеряют.

Выведем формулу

При постоянном ускорении средняя проекция скорости равна полусумме начальной и конечной. Поэтому $\Delta r_x=(v_{0x}+v_x)t/2$. Подставим $v_x=v_{0x}+a_xt$:

$\Delta r_x=v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}.$

Здесь $t$ — время от начала выбранного участка, $v_{0x}$ — начальная проекция скорости, $a_x$ — постоянная проекция ускорения. Ось выбирают до подстановки. Все проекции записывают со знаками. Оба слагаемых имеют единицу метра. Если $a_x=0$, остаётся знакомое $\Delta r_x=v_xt$.

Координата учитывает место старта

Координата связана с перемещением равенством $x=x_0+\Delta r_x$. Следовательно:

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}.$

Пусть $x_0=-5$ м, $v_{0x}=2$ м/с, $a_x=1$ м/с². Через 4 с перемещение равно $2\cdot4+1\cdot4^2/2=16$ м, а координата $-5+16=11$ м. Ответ 16 м на вопрос о координате забывает место старта. Скорость всё время положительна, поэтому путь здесь тоже 16 м.

Начало из покоя

Если начальная скорость нулевая, первое слагаемое исчезает. При $a_x=2$ м/с² за 3 с тело переместится на 9 м. Конечная скорость равна 6 м/с, но умножать её на всё время нельзя: тело не двигалось с этой скоростью все 3 с. Средняя скорость в этой модели 3 м/с, и $3\cdot3=9$м даёт проверку.

Разворот требует отдельного шага

Иллюстрация установки. Для расчёта считаем жёлоб достаточно длинным; ускорение постоянно на всём указанном интервале.

Ось направим вверх по жёлобу. Зададим $x_0=0$, $v_{0x}=4$м/с и $a_x=-2$м/с² на 0–4 с. Сначала найдём момент нулевой скорости: $0=4-2t$, значит $t_\text{п}=2$с. Координата в этот момент $x(2)=4$м. К 4 с шарик вернётся в $x(4)=0$.

Перемещение за весь интервал нулевое, а путь равен сумме двух участков:4 м вверх и 4 м вниз, всего 8 м. Ускорение в точке поворота не исчезает. Формула координаты продолжает действовать, потому что условие прямо задаёт постоянное ускорение после остановки.

Что показывают графики

Синяя линия — $\Delta r_x=4t-t^2$, оранжевая — путь. До 2 с они совпадают, потому что тело движется по положительной оси. После поворота перемещение уменьшается, а путь продолжает расти. График координаты получается из графика перемещения сдвигом на $x_0$. При ненулевом постоянном ускорении это участок параболы.

Если тело всё время движется влево, проекция перемещения отрицательна, но путь положителен: $s=|\Delta r_x|$. Такое равенство для всего интервала подходит лишь без смены направления.

Связь без времени

Из закона скорости и формулы перемещения можно исключить время:

$v_x^2-v_{0x}^2=2a_x\Delta r_x.$

Она удобна, когда время неизвестно, но дано перемещение. Квадрат не определяет знак скорости: направление нужно установить по условию. Формулу нельзя превращать в формулу пути с произвольным знаком, особенно если был разворот.

Проверь себя

Запиши решение до открытия ключей. Во всех задачах Ox направлена вправо, t₀ = 0, ускорение постоянно на указанном интервале.

A. x₀ = 3 м, v₀ₓ = 2 м/с, aₓ = 2 м/с². Найди Δrₓ, x и путь за 3 с.

Б. x₀ = 5 м, v₀ₓ = −2 м/с, aₓ = −1 м/с². Найди Δrₓ, x и путь за 4 с.

В. Шарик: x₀=0, v₀ₓ=6 м/с, aₓ=−2 м/с² на 0–5 с. Найди время поворота, Δrₓ и путь за 5 с.

Новая попытка после ошибки. После исправления закрой ответы и реши: Из покоя aₓ = 2 м/с², t = 2 с, x₀ = −3 м. Найди Δrₓ, x и путь.

Показать ответ после выполнения

Домашняя работа

Прочитай §12. 1) x₀=1 м, v₀ₓ=3 м/с, aₓ=1 м/с², t=2 с: найди Δrₓ,x,s. 2) v₀ₓ=6 м/с,aₓ=−2 м/с²,x₀=0 на 0–6 с: найди момент поворота, Δrₓ и путь.

Главное

Координата x = x₀ + v₀ₓt + aₓt²/2. Проекция перемещения может быть отрицательной или нулевой. Путь неотрицателен и при развороте складывается по участкам.