Графики равнопеременного движения

Графики равнопеременного движения

Одна и та же наклонная линия может описывать разные движения. Пока не прочитаны подписи осей, фраза «график идёт вверх» почти ничего не объясняет. На этом практикуме связываем графики с величинами и проверяем выводы числами.

Фото ImageGen служит иллюстрацией. Данные ниже заданы математической моделью, не измерены по изображению.

Одна модель для сравнения

Выберем $x_0=2$м, $v_{0x}=4$м/с, $a_x=-2$м/с² на всём интервале 0–4 с. Ускорение постоянно. Тогда $v_x=4-2t$, $x=2+4t-t^2$. Время выражено в секундах, координата в метрах.

Ускорение и скорость

Горизонтальная линия на уровне−2 м/с² означает постоянное ускорение. Площадь между этой линией и осью времени за 4 с с учётом знака равна−8 м/с: это изменение проекции скорости.

График скорости пересекает ось времени при 2 с. До этого проекция положительна, после — отрицательна: тело меняет направление. Наклон находится отношением $\Delta v_x/\Delta t$, а не измерением угла на рисунке. Если изменить масштаб осей, угол изменится, ускорение модели останется прежним.

Координата и путь

В момент нулевой скорости координата достигает максимума 6 м. После 2 с координата уменьшается: тело движется влево. Начальная и конечная координаты равны 2 м, но между ними тело двигалось. Перемещение за 4 с нулевое.

Путь до поворота равен 4 м, обратно ещё 4 м. Поэтому $s=8$м. График пути не может идти вниз: уже пройденная длина не вычитается при смене направления. На рисунке после поворота путь растёт, хотя координата уменьшается.

Два способа читать график скорости

Если нужна проекция скорости в заданный момент, считай высоту точки. Если нужно ускорение, выбери две точки и раздели изменение скорости на время. Например, для прямой через(0 с;2 м/с) и(4 с;10 м/с):

$a_x=\frac{10-2}{4-0}=2 \text{м/с}^2.$

Если нужно перемещение, найди подписанную площадь под графиком. В нашей модели $v_x=4-2t$ два треугольника имеют площади по 4 м. Один выше оси, другой ниже: $\Delta r_x=4-4=0$. Для пути складываем модули: $s=4+4=8$м.

Как восстановить параметры из координаты

Пусть $x=5-2t+t^2$ в СИ. Сравни с $x=x_0+v_{0x}t+a_xt^2/2$. Получаем $x_0=5$м, $v_{0x}=-2$м/с и $a_x=2$м/с². Коэффициент при $t^2$ равен половине ускорения, поэтому ответ 1 м/с² неверен. Закон скорости $v_x=-2+2t$ показывает поворот при 1 с.

Ловушки чтения

Высота графика координаты — координата, а не скорость. Пересечение графиков скоростей двух тел означает равные скорости, а встреча требует равных координат в один момент. Площадь под ускорением имеет единицу м/с; под скоростью — метр. Проверка единиц часто сразу обнаруживает ошибку.

Проверь себя

Запиши решение до открытия ключей. Во всех задачах Ox направлена вправо, t₀ = 0, ускорение постоянно на указанном интервале.

A. График vₓ(t) — прямая через (0 с; 2 м/с) и (4 с; 10 м/с). Найди aₓ, закон vₓ(t) и Δrₓ за 4 с.

Б. vₓ(t) — прямая через (0 с; 6 м/с) и (6 с; −6 м/с). Найди момент остановки, Δrₓ и путь за 6 с.

В. Координата задана формулой x=4−6t+2t² (СИ). Найди x₀,v₀ₓ,aₓ и момент поворота.

Новая попытка после ошибки. После исправления закрой ответы и реши: Прямая vₓ(t) проходит (0 с;−2 м/с) и (2 с;−6 м/с). Найди aₓ и Δrₓ за 2 с.

Показать ответ после выполнения

Домашняя работа

По модели x₀=−1 м,v₀ₓ=2 м/с,aₓ=1 м/с² на 0–4 с составь таблицу при t=0,2,4 с, построй vₓ(t),x(t) и найди путь.

Главное

График ускорения при aₓ=const горизонтален, скорости — прямая, координаты при aₓ≠0 — парабола. Подписанная площадь под vₓ(t) даёт перемещение, сумма модулей площадей — путь.