Криволинейное движение. Линейная и угловая скорости

Скорость на кривой траектории

У прямолинейного движения направление скорости может оставаться неизменным. На плавной кривой направление меняется. Поэтому точка может двигаться с постоянным модулем скорости, но её вектор скорости не будет постоянным.

Фотореалистичная иллюстрация ImageGen. На фотографии велосипед стоит. Для расчётов рассматриваем колесо, мысленно вращающееся вокруг неподвижной оси; качение велосипеда здесь не изучаем.

Куда направлена скорость

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Для окружности касательная перпендикулярна радиусу, проведённому к точке. Из двух направлений касательной выбирают то, которое соответствует движению.

На рисунке точка находится справа от центра, обход идёт против часовой стрелки: скорость направлена вверх. В верхней точке при том же обходе скорость будет направлена влево. Если изменить обход на противоположный, направление каждой стрелки скорости тоже изменится.

Радиан связывает дугу и радиус

Пусть точка прошла дугу длиной s по окружности радиусом R. Угол поворота радиуса в радианах равен $φ=s/R$. Отсюда $s=Rφ$.

Один радиан — угол, которому соответствует дуга длиной в один радиус. Полный оборот равен 2π рад, половина оборота — π рад, четверть — π/2 рад. Градусы перед подстановкой в формулу дуги переводят в радианы: 90°=π/2 рад.

Например, при R=0,40 м дуга 0,80 м соответствует углу 2 рад. Удвоение радиуса при том же угле удваивает длину дуги.

Угловая скорость

При равномерном движении по окружности за равные промежутки времени радиус поворачивается на равные углы. Угловая скорость показывает, на какой угол он поворачивается за единицу времени:

$ω=φ/t.$

В этой формуле φ — угол, пройденный за интервал t. Единица — радиан в секунду, рад/с. Поворот на 3 рад за 2 с означает ω=1,5 рад/с. В рамках этой темы угловую скорость рассматриваем как скалярную величину; направление обхода указываем отдельно.

Линейная скорость

Линейная скорость характеризует движение самой точки вдоль окружности. При равномерном вращении $v=s/t=Rφ/t$, поэтому:

$v=ωR.$

Точка на расстоянии 0,20 м от оси при ω=3 рад/с имеет скорость 0,60 м/с. Её вектор в каждый момент направлен по касательной. Радиус помогает вычислить модуль, но не заменяет рисунок направления.

Один диск, разные радиусы

Нарисуй на бумажном круге две точки на одном радиусе — ближе и дальше от центра. Медленно поверни круг, удерживая центр на месте. За одно время обе точки поворачиваются на одинаковый угол. Значит, у всех точек жёсткого диска одна угловая скорость.

Но более далёкая точка проходит большую дугу и имеет большую линейную скорость. При ω=2 рад/с точки на расстояниях 0,10 и 0,20 м имеют скорости 0,20 и 0,40 м/с. Отношение скоростей равно отношению радиусов.

Проверь рассуждение: «Обод быстрее, значит его угол поворота больше». Ошибка: угол общий для диска, а большая длина дуги возникает из-за большего радиуса. Период, частоту и дополнительные задачи на вращение разберём в следующих уроках.

Проверь себя

Запиши решение до открытия ключей. Во всех численных задачах вращение равномерное, ось неподвижна, углы заданы в радианах. Направление скорости определяй отдельно по направлению обхода.

A. Точка движется равномерно по окружности радиусом 0,50 м. За 4 с радиус поворачивается на 6 рад. Найди угловую скорость, длину дуги и линейную скорость.

Б. Две точки одного жёсткого диска находятся на расстояниях 0,10 и 0,30 м от оси. Диск равномерно вращается с ω=4 рад/с. Найди их скорости и сравни углы за одно время. Во сколько раз различаются линейные скорости?

В. Точка находится справа от центра окружности и движется по часовой стрелке. Нарисуй направление скорости. Почему постоянный модуль скорости не означает постоянный вектор?

Новая попытка после ошибки. После исправления закрой ответы и реши: R=0,40 м; φ=2 рад за 4 с. Найди ω,v. Куда направлена скорость в верхней точке при обходе по часовой?

Показать ответ после выполнения

Домашняя работа

1. R=0,60 м,ω=2 рад/с,t=3 с: найди φ,s,v. 2) При R=0,40 м угол 90° пройден за 2 с. Вырази угол в радианах и найди ω,v. π≈3,14.

Главное

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Для окружности φ=s/R в радианах; при равномерном вращении ω=φ/t и v=ωR. Точки одного жёсткого диска имеют общую ω, но разные v на разных радиусах.