Период и частота обращения. Связь характеристик движения по окружности

Период и частота обращения

Два колеса сделали одинаковое число оборотов, но одному понадобилось меньше времени. Быстроту вращения можно описать двумя взаимно обратными величинами: временем одного оборота и числом оборотов за секунду.

Реалистичная иллюстрация ImageGen. Карусель на фото неподвижна; расчётные параметры далее задаются условием, а не измеряются по снимку.

Время одного оборота

Период обращения T — время одного полного оборота. Если за время t сделано N оборотов равномерного вращения, $T=t/N$. Время выражают в секундах. Например,12 оборотов за 6 с означают период 0,50 с.

Частота ν показывает число оборотов за единицу времени: $ν=N/t$. В этом же примере ν=2 с⁻¹. Символ ν — греческая буква «ню». Оборот — число циклов, а не радиан.

Для равномерного вращения $ν=1/T$ и $Tν=1$. Если частота увеличилась втрое, период уменьшился втрое. Произведение проверяет взаимную обратность, но не обнаруживает перестановку T и ν. Смысл каждой величины и её единицу проверяй отдельно.

Как связаны скорости

За один оборот радиус поворачивается на 2π радиан. Поэтому $ω=2π/T=2πν$. Частота 2 с⁻¹ означает два оборота за секунду и угловую скорость 4π рад/с, а не 2 рад/с.

Точка радиусом R проходит за оборот путь 2πR. Значит, $v=2πR/T=ωR$. Эти формулы позволяют последовательно перейти от числа оборотов к линейной скорости.

Разобранный пример

Пусть за 15 с сделано 30 оборотов, R=0,20 м. Тогда T=15/30=0,50 с, ν=30/15=2 с⁻¹, ω=4π≈12,56 рад/с, v=0,80π≈2,51 м/с. Проверки: Tν=1, а за один период точка проходит vT=0,40π м — ровно длину окружности.

Обороты в минуту

Нельзя подставлять минутную частоту в формулу, ожидающую секунды. Например,90 об/мин — это 90/60=1,5 с⁻¹. Период равен 1/1,5≈0,667 с. Угловая скорость при этом 3π рад/с.

Что общего у точек диска

Мысленно закрепим ось колеса в пространстве. Точки одного жёсткого диска вне оси совершают оборот одновременно: у них одинаковы T,ν и ω. Но точка дальше от оси проходит за это время более длинную окружность. Её линейная скорость больше пропорционально радиусу.

Точки на самой оси покоятся и окружность не описывают. Качение колеса вместе с велосипедом в этой модели не рассматривается.

Проверь себя

Запиши решение до открытия ключей. Все тела вращаются равномерно вокруг неподвижной оси. π≈3,14. Сначала запиши формулу, затем числа с единицами.

А. Точка совершила 18 оборотов за 36 с по окружности радиусом 0,40 м. Найди T, ν, ω и v.

Б. Колесо равномерно вращается с частотой 120 об/мин. Радиус равен 0,25 м. Найди частоту в СИ, период и скорость точки обода.

В. Две точки жёсткого диска имеют радиусы 0,15 и 0,45 м. Период диска 3 с. Сравни T, ν, ω, v этих точек и найди отношение v₂/v₁.

Новая попытка после ошибки. После исправления закрой ответы и реши: Частота 150 об/мин. Найди ν в СИ, T и ω.

Показать ответ после выполнения

Домашняя работа

1. За 24 с сделано 6 оборотов при R=0,60 м: найди T,ν,v. 2) Частота 180 об/мин: найди ν,T,ω.

Главное

T=t/N, ν=N/t=1/T. Для равномерного вращения ω=2πν=2π/T, v=ωR. У точек одного диска одинаковы T,ν,ω, а линейная скорость пропорциональна радиусу.