Ускорение при движении по окружности

Ускорение при движении по окружности

Ускорение возникает при изменении вектора скорости. Измениться может не только его длина, но и направление. Поэтому равномерное движение по окружности происходит с ускорением, хотя модуль скорости постоянен.

Фото ImageGen — иллюстрация. Мы задаём мысленную модель равномерного вращения; по снимку не определяем скорость или радиус.

Куда направлены векторы

Скорость точки направлена по касательной. При постоянном модуле скорости ускорение направлено по радиусу к центру окружности и перпендикулярно скорости. Его называют центростремительным, или нормальным.

В правой точке при обходе против часовой стрелки скорость смотрит вверх, ускорение — влево. В верхней точке ускорение смотрит вниз. Изменение направления обхода разворачивает скорость, но ускорение в данной точке по-прежнему направлено к центру.

Откуда берётся формула

Для малого перемещения по окружности треугольник изменения скорости подобен треугольнику радиусов. Модуль изменения вектора скорости (не разность модулей) относится к v примерно так же, как короткая дуга vΔt к R. Поэтому $Δv/v≈vΔt/R$. После деления на время получаем $Δv/Δt≈v^2/R$. При уменьшении интервала это даёт мгновенное ускорение:

$a=v^2/R.$

Здесь v — модуль линейной скорости, R — радиус. Размерность: (м/с)²/м=м/с². Подставляя v=ωR, получаем ещё одну форму: $a=ω^2R$.

Вычислим и проверим

При v=6 м/с и R=12 м ускорение равно 36/12=3 м/с². Это не означает, что модуль скорости прибавляется на 3 м/с каждую секунду: в этой модели он постоянен, меняется направление.

Для ω=3 рад/с и R=0,20 м получаем v=0,60 м/с и a=1,80 м/с². Независимая проверка через линейную скорость:0,60²/0,20=1,80 м/с².

Сравнения требуют условия

При прежнем радиусе удвоение v увеличивает a вчетверо. При одной и той же v увеличение R уменьшает a: поворот становится плавнее. Но для точек одного диска одинаковой является ω. В этом случае a=ω²R растёт с радиусом. Противоречия нет: сравниваются разные условия.

Где заканчивается эта модель

Если точка разгоняется или тормозит на окружности, появляется также касательная составляющая ускорения, связанная с изменением модуля скорости. Формула v²/R даёт центростремительную составляющую. Всё ускорение только к центру направлено в рассмотренном основном случае постоянного модуля скорости. Расчёт сил относится к следующему разделу курса.

Проверь себя

Запиши решение до открытия ключей. Модуль скорости каждого тела постоянен; движение по окружности. Радиусы положительны. В задаче В явно различай, какая скорость сохраняется.

А. Точка равномерно движется по окружности R=8 м со скоростью 4 м/с. Найди ускорение. Нарисуй его направление в верхней точке окружности.

Б. Точка диска находится в 0,30 м от оси. Угловая скорость постоянна и равна 4 рад/с. Найди v и a. Проверь a другим способом.

В. Радиус траектории увеличили в 3 раза. Как изменится центростремительное ускорение:1) при прежней линейной скорости;2) при прежней угловой скорости? Обоснуй формулами.

Новая попытка после ошибки. После исправления закрой ответы и реши: Радиус удвоили. Что стало с a при прежней v? А при прежней ω?

Показать ответ после выполнения

Домашняя работа

1. v=8 м/с,R=16 м: найди a. 2) ω=5 рад/с,R=0,20 м: найди v,a. 3) При том же R скорость уменьшили вдвое: как изменилось a?

Главное

При постоянном модуле скорости на окружности a направлено к центру и перпендикулярно v. Модуль a=v²/R=ω²R. Сравнение требует указать неизменную величину.