Практикум: движение по окружности

Практикум по движению по окружности

Формул стало больше, но задача не требует подставлять данные во все сразу. Начни с того, что известно, что нужно найти и какие условия модели выполняются.

Фото ImageGen иллюстрирует тему. Все численные данные авторских задач условные; модель предполагает равномерное вращение.

Сеть связей

Если даны число оборотов и время, найди $T=t/N$ или $ν=N/t$. Далее $ω=2πν=2π/T$. С радиусом получаются $v=ωR$ и $a=ω^2R$. Если известны v и a, удобнее сразу выразить $R=v^2/a$.

До подстановки переведи об/мин в с⁻¹ и сантиметры в метры. Если дан диаметр, радиус равен его половине. Квадрат скорости и квадрат отношения периодов нельзя терять.

Пример с минутной частотой

Частота 30 об/мин и радиус 0,50 м дают ν=0,50 с⁻¹, T=2 с, ω=π рад/с. Линейная скорость 0,50π≈1,57 м/с, ускорение 0,50π²≈4,93 м/с². Проверка ускорения через v²/R даёт тот же ответ.

**Попробуй сам:**60 об/мин при R=0,10 м. Сначала реши в тетради. Затем проверь: ω=2π рад/с, v=0,20π м/с, a=0,40π² м/с². Если ответ в 60 раз больше ожидаемого уже на шаге частоты, проверь перевод минуты в секунды.

Обратная задача

Пусть v=8 м/с и a=16 м/с². Из a=v²/R выразим R=v²/a=4 м. Тогда ω=v/R=2 рад/с и T=2π/ω=π с. Формула R=a/v² неверна даже по размерности: она даёт обратный метр.

Модуль скорости не задаёт направление: v направлен по касательной, a — к центру. Условия постоянного модуля скорости действуют во всех основных задачах этого практикума.

Сравнение двух вращений

Через период $v=2πR/T$, $a=4π^2R/T^2$. Разделив формулы для двух точек, получаем отношения v₁/v₂=(R₁/R₂)(T₂/T₁) и a₁/a₂=(R₁/R₂)(T₂/T₁)².

При одном периоде удвоение радиуса удваивает и v, и a. При одном радиусе удвоение периода уменьшает v вдвое, а a вчетверо. Утверждение «больше скорость — больше ускорение» без указания радиусов неверно: v=4 м/с,R=16 м дают a=1 м/с², а v=2 м/с,R=1 м дают a=4 м/с².

Проверка результата

Проверь единицу, здравый смысл сравнения и второй способ вычисления. Сохраняй точные выражения с π до последнего шага: если сначала сильно округлить скорость, квадрат усилит численную погрешность. Ответ через π допустим и часто удобнее десятичного.

Проверь себя

Запиши решение до открытия ключей. Все движения равномерные по окружности. π≈3,14. Сохраняй π до последнего шага; единицы переводятся до подстановки.

А. Точка обода R=0,20 м равномерно вращается с частотой 90 об/мин. Найди T,ω,v,a. Проверь ускорение через v²/R.

Б. При равномерном движении по окружности v=6 м/с и a=12 м/с². Найди R,ω и T.

В. Для двух равномерных вращений R₁=3R₂ и T₁=2T₂. Найди отношения v₁/v₂ и a₁/a₂. У какой точки больше ускорение?

Новая попытка после ошибки. После исправления закрой ответы и реши: v=4 м/с,a=8 м/с². Найди R и ω.

Показать ответ после выполнения

Домашняя работа

1)45 об/мин,R=0,40 м: найди T,v,a. 2) v=5 м/с,a=10 м/с²: найди R,ω.

Главное

Выбор формулы зависит от данных. R=v²/a решает обратную задачу. Для сравнения v пропорциональна R/T, а a — R/T². В каждом выводе должны быть названы неизменные величины.