Практикум: вертикальное движение

Сохрани одну ось на весь полёт

Выберем y вверх, тогда ay=−g на подъёме и при спуске. В задачах g=10 м/с². После отрыва от руки и до удара учитываем только тяжесть. Высокие броски ниже — расчётные ситуации, повторять их не нужно.

Записываем $v_y=v_{0y}-gt$ и $y=y_0+v_{0y}t-gt^2/2$. Координата показывает положение относительно нулевого уровня; знак скорости показывает направление движения.

Найди вершину по скорости

Для y₀=0 и v₀=20 м/с в вершине vy=0, значит tп=2 с. Высота H=20·2−5·2²=20 м. На высоту старта тело вернётся через 4 с. Условие равных высот здесь существенно.

Своя попытка: v₀=10 м/с, y₀=0. Сначала реши сам. Проверка: tп=1 с, H=5 м, возвращение на старт через 2 с.

Для броска 20 м/с график пересекает ноль при 2 с. После этого скорость направлена вниз. В вершине ускорение не исчезает: нулевой становится только скорость.

Одна высота — два момента

Решим 15=20t−5t². Получаем t=1 с и t=3 с. В первый момент vy=+10 м/с, во второй−10 м/с. Оба корня допустимы: одна высота достигается при подъёме и при спуске.

Через 3 с координата 15 м, но путь уже 25 м:20 м вверх и 5 м вниз. Подстановка координаты вместо пути даёт ошибку.

Отпускание и бросок вниз

Если тело отпустили с высоты 20 м, начальная скорость нулевая:0=20−5t², физическое время 2 с. Проекция скорости−20 м/с, модуль 20 м/с.

Если бросили вниз со скоростью 10 м/с при оси вверх, v₀y=−10 м/с. Подставляй этот знак в оба уравнения. Для достижения земли используй y=0, а не формулу возврата на высоту старта. Для пера сопротивление может оказаться существенным: модель нужно пересмотреть.

Проверка ответа

Каждый корень сопоставь с событием и временем t≥0. Проверь, не встретилось ли тело с опорой раньше. Раскрытый парашют имеет существенное сопротивление, поэтому эта модель для него не годится.

Ещё один контрпример — шайба на опоре. Нельзя применять формулы вертикального свободного полёта лишь потому, что на тело действует тяжесть: нужно проверить все силы и характер движения.

Проверь себя

Запиши решение до открытия ключей. Ось y направлена вверх. g=10 м/с², ay=−10 м/с². Сопротивления воздуха нет. Нулевой уровень указан в условии; рассматриваем полёт до первого удара.

А. Мяч брошен вверх с уровня y₀=0 со скоростью 10 м/с. Найди время подъёма, максимальную высоту над стартом и время возвращения на уровень старта.

Б. Мяч брошен вверх: y₀=0, v₀=20 м/с. Найди y и vy через 3 с. Найди путь за эти 3 с; опоры выше уровня старта нет.

В. Тело бросили вертикально вниз с высоты y₀=15 м над землёй со скоростью 10 м/с. Выбери знак v₀y и найди время до земли.

Новая попытка после ошибки. После исправления закрой ответы и реши: Мяч брошен вверх с v₀=30 м/с, y₀=0. Найди время подъёма и высоту над стартом.

Показать ответ после выполнения

Домашняя работа

Мяч брошен вверх: y₀=0, v₀=20 м/с. В какие два момента он на высоте 15 м? Найди vy в оба момента.

Главное

Одна ось на весь полёт: ay=−g. Вершину находим по vy=0, нужную высоту — по y. Путь складываем по участкам, корни проверяем по времени и событию.