Двоичная арифметика. Сложение и умножение

Сложить и умножить небольшие двоичные числа, показать перенос или сдвиг частичных произведений и проверить результат десятичным вычислением. Для работы достаточно бумаги, ручки и памятки. Сначала записывай свою попытку, затем сравнивай и отмечай исправления другим знаком. Обычные неотрицательные целые; в заданиях значения и результаты не превышают 1024. Рассматриваем сложение и умножение без фиксированной машинной разрядности. Вычитание, деление, отрицательные коды и дроби не входят в этот урок.

Безопасное начало

Организуй место по правилам кабинета: сухие руки, без напитков, провода и разъёмы не трогай. О неисправности сообщи учителю. Две полные минуты в середине урока отведены отдыху без проекции и заданий. Внешний ИИ, регистрация, личные данные и установка программ не требуются.

Что уже нужно знать

Уроки 1–5: двоичные разрядные веса, переводы между основаниями 2, 8, 10 и 16, сравнение по общему значению. Нужны обычные десятичные сложение и умножение.

S0. Чему равно 1101₂ в десятичной системе? Какой вес идёт слева от 8, 4, 2, 1? Это короткий устный старт без отметки.

Сложение и умножение в основании 2

У двоичных разрядов веса 1, 2, 4, 8 и далее удваиваются влево. Складывай справа налево, учитывая входящий перенос. Сумма двух единиц равна 10₂: пишем 0, переносим 1. При трёх единицах 11₂: пишем 1, переносим 1. При умножении каждая цифра множителя даёт частичную строку со сдвигом по её месту.

Умножение на цифру: 0×0=0, 0×1=0, 1×0=0, 1×1=1. На 10₂ умножают сдвигом на одно место влево. Последний перенос сохраняют; начальные нули для выравнивания не задают машинную длину.

Перенос — единица в следующий разряд. Частичное произведение — строка от одной цифры множителя с нужным сдвигом. Проверка — десятичная операция над теми же значениями.

Концептуальная иллюстрация. Точные данные, отношения и вычисления заданы текстом и таблицами; предметы на рисунке не являются условием задачи.

Личная проба по правилу

C1. Вычисли 11₂ + 1₂ и 10₂ + 1₂. Покажи, где появляется перенос.

Две минуты работай лично, затем сравни с объяснением. В этой пробе можно пользоваться памяткой. Числа выровняй справа, начальные нули не меняют обычное целое.

Сложение с переносом

Модель: 101₂ + 011₂. В единицах 1+1=10₂ — пишем 0, переносим 1. В двойках 0+1+1=10₂ — снова 0 и перенос 1. В четвёрках 1+0+1=10₂ — 0 и перенос в вес 8. Получается 1000₂. Проверка: 5+3=8.

A1. Сложи 1011₂ и 0111₂ столбиком. Покажи переносы и проверь результат через десятичную систему.

Сначала собственная запись каждого ученика. Только после попытки объясни один шаг партнёру. Полные ответы находятся в закрытом блоке разбора ниже.

Пауза без экрана

На две полные минуты убираем проекцию и задания. Отведи взгляд от экрана, расслабь кисти и плечи по указанию учителя. После отдыха вернись к бумажному листу.

Умножение по разрядам

Модель: 101₂ × 11₂. Младшая единица даёт 00101₂; единица с весом 2 — строку 01010₂. Складываем выровненные строки: 00101₂ + 01010₂ = 01111₂ = 1111₂. Проверка: 5×3=15. При нулевой цифре соответствующая строка нулевая, но место следующей строки сохраняется.

A2. Вычисли 110₂ × 101₂. Запиши частичные произведения по разрядам множителя, учти сдвиги и проверь десятичным умножением.

Сохрани промежуточные шаги: по одному верному итогу нельзя понять, какой способ ты использовал.

Концептуальная иллюстрация. Точные данные, отношения и вычисления заданы текстом и таблицами; предметы на рисунке не являются условием задачи.

Перевод сравнение и арифметика

Модель короткой проверки: 15₈ = 001|101₂ = 1101₂ = 13₁₀. Значения 15₈ и 1101₂ равны. Отдельно 110₂ + 1₂ = 111₂; десятичная проверка 6+1=7. Это три разных действия: перевод, сравнение и вычисление. Для каждого нужен свой ход, а не один ответ «всё верно».

B1. Короткая диагностика раздела. 1) Переведи 2D₁₆ в двоичную через тетрады. 2) Сравни 17₈ и 1110₂, указав общие значения. 3) Вычисли 1001₂ + 1₂ и покажи перенос.

Три минуты каждый записывает решение лично. Затем одна минута на сверку и исправление. Покажи основание своего вывода, а не только последнее значение.

Проверяем ответ ИИ

AI1. Вымышленный помощник ИИ написал: «101₂ × 10₂ = 101₂: умножение на 0 даёт 0, а на 1 оставляет число». Найди пропущенный шаг, исправь результат и проверь его.

Ответ вымышленный, открывать сервис не нужно. Сначала найди противоречие определению или вычислению, затем сформулируй исправление. Уверенный тон не служит доказательством.

Если возникло затруднение

• В столбце написана цифра 2: Оставить младший бит суммы, единицу перенести в следующий разряд.
• Забыт входящий перенос: Над текущим столбцом отдельно отметить перенос и сложить три значения.
• Пропущен сдвиг строки произведения: Подписать веса цифр множителя: 1, 2, 4; восстановить места строки.
• После умножения на 0 оставлено прежнее число: Отделить нулевую цифру множителя от сдвига при умножении на 10₂.

D1. Резерв. Найди 11111₂ + 1₂ и объясни появление нового старшего разряда.

D1 — резерв после основных попыток и исправлений. Если пока трудно, восстанови один шаг по подсказке и выполни новый короткий пример соответствующего навыка.

Индивидуальный итог

Четыре полные минуты лично. Памятка и разобранные модели рабочего листа разрешены, ключи и веб-разбор закрыты. Учитель не даёт адресных подсказок. Можно использовать чистый оборот билета для записи.

E1. Вычисли 101₂ + 1₂. Покажи перенос.

E2. Вычисли 11₂ × 11₂. Покажи два частичных произведения.

E3. Сравни 2A₁₆ и 101010₂. Покажи перевод через тетрады.

Разбор после своей попытки

Показать ответ после выполнения

После исправления выбери новый пример из самопроверки. Первый ответ сохрани: он показывает, что получилось самостоятельно; исправленный ответ показывает работу над ошибкой.

Материалы и самопроверка

На странице отдельно открываются презентация «Сигнал», самостоятельный план учителя, рабочий лист, выходной билет и бумажная самопроверка. Все DOCX можно смотреть на сайте и скачать. Для печати доступны PDF:

• Рабочий лист для печати.
• Выходной билет два на А4.
• Самопроверка на бумаге.

Нативные шесть вопросов с чтением пояснений занимают примерно 5–7 минут отдельно после урока. Бумажный вариант с письменными основаниями и разбором учителя — 7–10 минут. Все шесть новых письменных случаев — ещё примерно 5–7 минут; выбирай прежде всего случай к своей ошибке. Весь модуль не прибавляют к основным 45 минутам и не задают вместе с H1 автоматически. На бумаге после первой попытки объяснения и новый пример даёт учитель из полного плана либо их можно прочитать на сайте позже.

Домашний перенос

H1. Домой, 5–7 минут. Вычисли 1110₂ + 101₂ и 101₂ × 101₂. При сложении покажи переносы, при умножении — частичные произведения. Один результат обязательно проверь десятичным вычислением.

Полное условие уже есть на листе; решение запиши в тетради. Интернет и калькулятор не нужны. Хотя бы одна десятичная проверка обязательна.

Источники

ФРП 2025, содержание 8 класса, с. 8–9; тематическая таблица с. 32: раздел систем счисления 6 часов и действия сложения/умножения небольших двоичных чисел. Этот урок завершает раздел короткой диагностикой перевода, сравнения и арифметики. Учебник не указан, поэтому номер параграфа не назначается. Задания и русский текст оригинальны. ИИ включён как проверка вымышленного совета без отдельного часа и внешнего аккаунта.

• Федеральная рабочая программа информатики 7–9 классов базовый уровень.
• Информационно методическое письмо на 2026/2027 год.
• Computer Science Field Guide Numbers.
• Marc Moreno Maza Binary multiplication of integers.